Hypergeometrische Verteilung-Rechner (PMF, CDF, FPC)

Hypergeometrische Verteilung-Rechner: PMF, CDF, Überleben, Momente, Vergleich Binomialverteilung, endliche Populationskorrektur FPC, Fisher-Exakt-Test.

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Hypergeometrische Verteilung: Definition

Modelliert Erfolge in n Ziehungen OHNE ZURÜCKLEGEN aus endlicher Population (N gesamt, K Erfolge, N-K Misserfolge). Unterscheidet sich von Binomial durch Abhängigkeit.

PMF: P(X = k) = C(K, k) C(N-K, n-k) / C(N, n).

Parameter

  • N Gesamtpopulation.
  • K Erfolge in Population.
  • n Stichprobengrösse.
  • k beobachtete Erfolge.

Beispiel

Urne N=50, K=10 schwarz. Ziehen n=12. P(k=3) = 0.270. Mittel 2.4, SD 1.219.

Momente

  • Mittelwert: nK/N.
  • Varianz: nK(N-K)(N-n) / (N^2(N-1)).
  • FPC = (N-n)/(N-1).

Vs Binomial

N -> unendlich, p = K/N fest: Hypergeometrisch -> Binomial. Regel n/N <= 5 %: Binomial OK.

Sonderfälle

  • K = 0: X = 0.
  • K = N: X = n.
  • n = 1: Bernoulli.
  • n = N: entartet.

Fisher-Exakt

2x2-Kontingenztafeln mit kleinen erwarteten Häufigkeiten. H0 Zellzahl hypergeometrisch. Exakter p-Wert.

Anwendungen

  • Qualitätskontrolle Stichproben.
  • Capture-Recapture Ökologie.
  • Lotterien.
  • Medizintests Fisher.
  • Genetik.
  • Endliche Umfragen.
  • Kartenspiele.
  • A/B-Testing.

Verallgemeinerungen

  • Multivariat c Kategorien.
  • Negativ.
  • Beta-Binomial.
  • Wallenius verzerrt.

Capture-Recapture

Schätzung N aus zwei Fängen. K Tiere markieren, freilassen. Später n fangen, k markierte zählen. Lincoln-Petersen: N = Kn/k. Chapman korrigiert (weniger Bias): (K+1)(n+1)/(k+1) - 1. Annahmen: geschlossene Population, Markierung beeinflusst nicht, homogene Fangbarkeit.

Stichprobengrösse-Schätzung

Für Qualitätskontrolle-Stichproben: Los N mit K Defektstücken, minimales n für gewünschtes AOQL (Acceptable Quality Limit) berechnen. Operative Charakteristik OC(p) = P(akzeptieren | p Defekte) basiert auf hypergeometrischer Verteilung für endliches N (bevorzugt vor Binomial für kleine Lose).

Geschichte

Laplace (1812 Theorie analytique des probabilites): erste systematische Studie. Pearson (1899): formale Analyse im Pearson-System. Fisher (1922-1935): Exakttest für 2x2-Tafeln. Lincoln (1930), Petersen (1896): Capture-Recapture-Ökologie. Chapman (1951): Bias-Korrektur des Schätzers.

Rechnermodi

Fünf: PMF, CDF, Überleben, Momente FPC, Binomialvergleich. Log-Fakultäten für Stabilität.

Fishers exakter Test und 2x2-Kontingenztafeln

Eine der wichtigsten Verwendungen der hypergeometrischen Verteilung ist nicht, eine Wahrscheinlichkeit direkt zu berechnen, sondern eine Assoziation zu testen. Ordnet man die Ergebnisse einer kleinen Studie in einer Zwei-mal-zwei-Tafel an, etwa eine Behandlung gegen eine Kontrolle gegen Erfolg gegen Misserfolg, und fragt, ob sich die beiden Zeilen mehr unterscheiden, als der Zufall zulasst. Unter der Nullhypothese, dass Zeilen- und Spaltensummen in keiner Beziehung stehen, folgt die Anzahl in einer einzelnen Zelle genau einer hypergeometrischen Verteilung, denn das Festhalten der Rander entspricht dem Ziehen ohne Zurucklegen aus einem endlichen Vorrat. Das ist die Grundlage von Fishers exaktem Test.

Der Test verdient seinen Namen, weil er eine exakte Wahrscheinlichkeit statt einer Naherung liefert. Das Summieren der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeiten aller Tafeln, die so extrem oder extremer als die beobachtete sind, ergibt einen p-Wert, ohne sich auf die Grossstichproben-Annahmen hinter dem Chi-Quadrat-Test zu stutzen, weshalb er die Standardwahl ist, wenn die Anzahlen klein sind. Ronald Fisher ersann ihn in den 1920er Jahren und illustrierte ihn beruhmt mit der Dame, die Tee verkostete, und er bleibt unentbehrlich in Medizin, Genetik und jedem Feld, in dem eine Kontingenztafel anhand einer Handvoll Beobachtungen beurteilt werden muss.

Ziehen ohne Zurucklegen: Qualitatskontrolle und Spiele

Das bestimmende Merkmal der hypergeometrischen Verteilung ist, dass jede Ziehung andert, was ubrig bleibt, und nirgends ist das praktischer als bei der Annahmestichprobe. Um zu entscheiden, ob ein Produktionslos angenommen oder abgelehnt wird, zieht ein Prufer eine Stichprobe von n Artikeln aus einer Charge von N und zahlt die fehlerhaften. Da die Artikel nicht zuruckgelegt werden, hangt die exakte Bestehenswahrscheinlichkeit vom hypergeometrischen Gesetz ab, und Qualitatsingenieure nutzen es, um Stichprobenplane zu entwerfen, die sowohl das Produzenten- als auch das Konsumentenrisiko in vereinbarten Grenzen halten. Das Problem als binomial zu behandeln wurde die Sicherheit uberschatzen, sobald die Stichprobe ein betrachtlicher Bruchteil des Loses ist.

Glucksspiele sind die andere alltagliche Heimat der Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl von Assen in einer Pokerhand zu ziehen, mehrere Zahlen auf einem Lotterieschein zu treffen oder eine bestimmte Anzahl einer Farbe im Bridge zu halten, sind alle hypergeometrisch, da Karten und Scheine ohne Zurucklegen gezogen werden. Der Vergleich des hypergeometrischen Ergebnisses mit dem binomialen macht die Wirkung des Zurucklegens konkret: das Entfernen jedes gezogenen Artikels verengt die Verteilung um ihren Mittelwert, eine Anpassung, die der Korrekturfaktor fur endliche Populationen erfasst, der die Varianz um das Verhaltnis der verbleibenden zur gesamten Population verringert.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die hypergeometrische Verteilung?

Sie modelliert die Zahl der Erfolge in n Ziehungen OHNE Zurucklegen aus einer endlichen Population von N Elementen mit K Erfolgen. Ihre PMF ist P(X=k) = C(K,k) C(N-K,n-k) / C(N,n). Sie unterscheidet sich von der Binomialverteilung, weil die Ziehungen nicht unabhangig sind: jede Ziehung andert die verbleibende Zusammensetzung.

Was stellen die Parameter N, K, n, k dar?

N ist die Gesamtpopulationsgrosse, K die Zahl der in der Population vorhandenen Erfolge, n die Grosse der gezogenen Stichprobe und k die Zahl der in der Stichprobe beobachteten Erfolge. Der Trager von k reicht von max(0, n-(N-K)) bis min(n, K): ausserhalb dieses Bereichs ist die Wahrscheinlichkeit null.

Was ist der Unterschied zur Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt Ziehungen MIT Zurucklegen, bei denen die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bleibt und die Versuche unabhangig sind. Die hypergeometrische beschreibt Ziehungen OHNE Zurucklegen aus einer endlichen Population, sodass die Versuche abhangig sind. Ist n sehr klein gegenuber N, fallen die beiden Verteilungen fast zusammen.

Wie berechnet man Mittelwert und Varianz?

Der Mittelwert ist nK/N, genau wie bei der Binomialverteilung mit p = K/N. Die Varianz ist nK(N-K)(N-n)/(N^2(N-1)), also die Binomialvarianz mal den Korrekturfaktor fur endliche Populationen (N-n)/(N-1). Dieser Faktor, stets kleiner als 1, verringert die Variabilitat gegenuber dem Ziehen mit Zurucklegen.

Was ist der Korrekturfaktor fur endliche Populationen?

Es ist der Term (N-n)/(N-1), der die Binomialvarianz mit der hypergeometrischen multipliziert. Er spiegelt wider, dass das Ziehen ohne Zurucklegen die Unsicherheit verringert: je grosser die Stichprobe im Verhaltnis zur Population, desto weiter entfernt sich der Faktor von 1 und desto starker konzentriert sich die Verteilung um den Mittelwert.

Was ist Fishers exakter Test?

Es ist ein Assoziationstest fur 2x2-Kontingenztafeln auf Basis der hypergeometrischen Verteilung. Bei festen Zeilen- und Spaltensummen folgt die Anzahl in einer Zelle unter der Nullhypothese einer hypergeometrischen. Das Summieren der Wahrscheinlichkeiten der extremen Falle ergibt einen exakten p-Wert, ideal wenn die Anzahlen klein sind und das Chi-Quadrat unzuverlassig ist.

Wie wird sie in der Qualitatskontrolle verwendet?

Bei der Annahmestichprobe zieht man eine Stichprobe von n Teilen aus einem Los von N und zahlt die fehlerhaften. Da die Teile nicht zuruckgelegt werden, ist die exakte Annahmewahrscheinlichkeit hypergeometrisch. Ingenieure nutzen sie, um Stichprobenplane zu entwerfen, die das Produzenten- und Konsumentenrisiko kontrollieren.

Wie wird sie auf die Schatzung von Populationen angewendet?

Mit der Fang-Wiederfang-Methode: K Tiere werden gefangen, markiert und freigelassen; dann wird eine Stichprobe von n gefangen und die k markierten gezahlt. Die Lincoln-Petersen-Schatzung ist N = Kn/k, mit der weniger verzerrten Chapman-Korrektur (K+1)(n+1)/(k+1) - 1. Sie ist grundlegend in Okologie und Epidemiologie.

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