Euler-Knicklast-Rechner (Stützen-Stabilität)

Calcola il carico critico di instabilità P_cr di una colonna con la formula di Eulero. Snellezza λ, tensione critica σ_cr, lunghezza libera per diversi vincoli, verifica dominio elastico/plastico e criterio Rankine-Merchant. Gratis, in 5 lingue.

E-Modul E (MPa) [Stahl 210000, Aluminium 70000, Holz 11000, Beton 30000] *

Minimales Trägheitsmoment I_min (mm⁴) *

Querschnittsfläche A (mm²) *

Reale Stützenlänge L (m) *

Randbedingung-Beiwert k (0,5 beidseitig eingespannt; 0,7 eingespannt-gelenkig; 1,0 doppelt gelenkig; 2,0 Kragarm) *

Streckgrenze f_y (MPa) [S235, S275, S355; Holz 24; Beton 25] *

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Haftungsausschluss: Diese Berechnung ist rein indikativ. Für wichtige Entscheidungen konsultieren Sie einen Fachmann.

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Was ist Euler-Knicken

Das Euler-Knicken ist das Phänomen, bei dem eine schlanke Stütze unter axialer Druckbelastung seitlich zusammenbricht, lange bevor die Materialfestigkeit erreicht wird. Analytisch studiert von Leonhard Euler 1744. Typische Versagensart schlanker Stützen, gedrückter Fachwerkstäbe, Masten, mechanischer Führungen. In der Bemessung (Stahl nach Eurocode 3 DIN EN 1993, Stahlbeton nach EC2) ist P_cr die erste Stabilitätsprüfung.

Die Euler-Formel: P_cr = π²·E·I / L_e²

Für ideale elastische Stütze:

P_cr = π² · E · I / L_e²

E E-Modul (MPa), I minimales Trägheitsmoment (mm⁴), L_e = k·L Knicklänge (mm). Immer I_min verwenden. Beispiel: Stahl S235 IPE 100, L=5 m, gelenkig (k=1) → P_cr ≈ 13,2 kN.

Randbedingung-Beiwerte k

k = 1,00: beidseitig gelenkig (Euler-Grundfall).
k = 0,50: beidseitig fest eingespannt. P_cr 4× gelenkig.
k = 0,70: eingespannt-gelenkig. P_cr ≈ 2×.
k = 2,00: Kragarm (eingespannt-frei). P_cr = 1/4×.
k = 1,00: beidseitig eingespannt mit Verschiebung.

Schlankheit λ und Grenz-Schlankheit

λ = L_e / i, i = √(I/A). σ_cr = π²·E/λ². Euler gültig bei λ > λ_lim = π·√(E/f_y). S235: 93,9; S275: 86,8; S355: 76,4; Alu 6060: 65,8; Holz GL24h: 67,2; Beton C25/30: 110,6.

EC3-Knicklinien

EC3 §6.3.1 korrigiert empirisch Imperfektionen: Kurven a₀ (α=0,13), a (0,21), b (0,34), c (0,49), d (0,76). N_b,Rd = χ · A · f_y / γ_M1.

Praktische Anwendungen

Stahl-Stützen in Gebäuden (HEB, HEA).
Gedrückte Fachwerkstäbe, Antennenmasten.
Beleuchtungs-/Verkehrsmasten (k=2).
Industrieregale (EN 15512), Gerüste (EN 12811).
Brückenpfeiler.
Stahlbetonstützen (EC2 §5.8).
Brettschichtholz-Fachwerke.

Wie man Knicken vermeidet

Querschnitt vergrößern (HEB/Rohre vs IPE).
Geschlossene Rohrquerschnitte verwenden.
Zwischenaussteifungen einbauen.
Bessere Randbedingungen.
Höherfester Stahl.
Vorspannung.

So verwenden Sie den Rechner

Geben Sie E (MPa), I_min (mm⁴), A (mm²), L (m), k (0,5-2,0), f_y (MPa) ein. Der Rechner liefert L_e, λ, λ_lim, P_cr, σ_cr, P_max Rankine-Merchant und Bewertung.

Häufig gestellte Fragen

Warum minimales Trägheitsmoment I<sub>min</sub>?

Weil eine Stütze in jeder vertikalen Ebene knicken kann. Sie wählt die Ebene geringster Biegewiderstand (kleinstes I). Bei IPE: I_y (schwach) << I_z (stark).

Ist die Euler-Formel immer korrekt?

Nein, Idealisierung. Reale Bruchlast 60-80 % von theoretischem P_cr. EC3-Knicklinien (a/b/c/d) korrigieren empirisch.

Wann Rankine-Merchant?

Übergangsbereich elastisch/plastisch. Empirische Formel 1/P_max = 1/P_cr + 1/P_pl. Genauigkeit ±15-25 %.

Was ändert sich für Stahlbetonstützen?

Stahlbeton komplexer: Rissbildung, Plastifizierung, P-Δ-Effekte 2. Ordnung. EC2 §5.8: Nennkrümmung oder Nennsteifigkeit.

Wie i für zusammengesetzte Querschnitte berechnen?

Steiner-Satz: I = Σ(I_i + A_i·d_i²). CAD-Software (SAP2000, Robot) berechnet automatisch.

Gilt für geneigte oder gekrümmte Stützen?

Klassischer Euler für gerade vertikale Stützen. Geneigte: kombinierte Druck-Biegung. Gekrümmte: biegedrillknicken, Vlasov-Methode.

Wie mit SAP2000/Robot vergleichen?

Globale Knickanalyse: Eigenwertproblem [K − λ·K_G]·v = 0. Erster Eigenwert λ_1 = kritischer Lastfaktor α_cr. Für Einzelstütze deckt sich mit Euler.

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Kategorie

ingegneria-strutturale

Schwierigkeit

hard

Formel

{"latex":"P_{cr}=\dfrac{\pi^{2}\,E\,I}{L_{e}^{2}};\;\; L_{e}=k\,L;\;\; \sigma_{cr}=\dfrac{\pi^{2}\,E}{\lambda^{2}};\;\; \lambda=\dfrac{L_{e}}{i},\; i=\sqrt{I/A};\;\; \lambda_{lim}=\pi\sqrt{E/f_{y}}","variables":{"it":"P_cr carico critico di instabilità (N); E modulo di Young (MPa = N/mm²); I minimo momento d'inerzia della sezione (mm⁴); L lunghezza reale della colonna (m); k coefficiente di vincolo (0,5-2,0 secondo condizioni al contorno); L_e = k·L lunghezza libera di inflessione (mm); σ_cr tensione critica (MPa); A area della sezione (mm²); i = √(I/A) raggio d'inerzia (mm); λ = L_e/i snellezza; f_y tensione di snervamento (MPa); λ_lim snellezza limite di applicabilità di Eulero. Se λ > λ_lim la formula di Eulero è valida (regime elastico); se λ < λ_lim la colonna è tozza e cede per snervamento del materiale prima di flettersi (regime plastico). Rankine-Merchant combina i due regimi: 1/P_max = 1/P_cr + 1/P_pl con P_pl = A·f_y.","en":"P_cr critical buckling load (N); E Young modulus (MPa = N/mm²); I minimum section moment of inertia (mm⁴); L actual column length (m); k constraint coefficient (0.5-2.0 per boundary conditions); L_e = k·L effective buckling length (mm); σ_cr critical stress (MPa); A section area (mm²); i = √(I/A) radius of gyration (mm); λ = L_e/i slenderness; f_y yield strength (MPa); λ_lim Euler-validity limit slenderness. If λ > λ_lim Euler formula is valid (elastic regime); if λ < λ_lim the column is stocky and fails by material yielding before buckling (plastic regime). Rankine-Merchant combines both: 1/P_max = 1/P_cr + 1/P_pl with P_pl = A·f_y.","es":"P_cr carga crítica de pandeo (N); E módulo de Young (MPa); I momento de inercia mínimo (mm⁴); L longitud real (m); k coeficiente de vínculo (0,5-2,0); L_e = k·L longitud de pandeo (mm); σ_cr tensión crítica (MPa); A área (mm²); i = √(I/A) radio de giro (mm); λ = L_e/i esbeltez; f_y límite elástico (MPa); λ_lim esbeltez límite. Si λ > λ_lim Euler válido (elástico); si λ < λ_lim columna corta falla por plastificación. Rankine-Merchant combina.","fr":"P_cr charge critique de flambement (N) ; E module de Young (MPa) ; I moment d'inertie minimum (mm⁴) ; L longueur réelle (m) ; k coefficient de liaison (0,5-2,0) ; L_e = k·L longueur de flambement (mm) ; σ_cr contrainte critique (MPa) ; A aire (mm²) ; i = √(I/A) rayon de giration (mm) ; λ = L_e/i élancement ; f_y limite d'élasticité (MPa) ; λ_lim élancement limite d'Euler. Si λ > λ_lim Euler valide (élastique) ; si λ < λ_lim colonne courte cède par plastification. Rankine-Merchant combine les deux.","de":"P_cr Knicklast (N); E E-Modul (MPa); I minimales Trägheitsmoment (mm⁴); L reale Stützenlänge (m); k Randbedingung-Beiwert (0,5-2,0); L_e = k·L Knicklänge (mm); σ_cr kritische Spannung (MPa); A Querschnittsfläche (mm²); i = √(I/A) Trägheitsradius (mm); λ = L_e/i Schlankheit; f_y Streckgrenze (MPa); λ_lim Grenz-Schlankheit für Euler-Gültigkeit. Bei λ > λ_lim Euler-Formel gültig (elastisch); bei λ < λ_lim gedrungene Stütze versagt durch Fließen. Rankine-Merchant kombiniert beide."}}

Quellen und Referenzen

Version

2026.2

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