Calculadora Distribución Hipergeometrica (PMF, CDF, FPC)

Calculadora distribución hipergeometrica: PMF, CDF, supervivencia, momentos, comparacion binomial, factor correccion población finita FPC, test Fisher exacto.

Parámetros de cálculo
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Distribución hipergeometrica: definición

Modela exitos en n extracciones SIN REEMPLAZO de población finita (N total, K exitos, N-K fallos). Difiere de binomial por dependencia.

PMF: P(X = k) = C(K, k) C(N-K, n-k) / C(N, n).

Parámetros

  • N población total.
  • K exitos en población.
  • n tamaño muestra.
  • k exitos observados.

Ejemplo

Urna N=50, K=10 negras. Extraer n=12. P(k=3) = 0.270. Media 2.4, SD 1.219.

Momentos

  • Media: nK/N.
  • Varianza: nK(N-K)(N-n) / (N^2(N-1)).
  • FPC = (N-n)/(N-1).

Vs binomial

N -> infinito, p = K/N fijo: hipergeometrica -> binomial. Regla n/N <= 5 %: binomial OK. Varianza siempre menor de FPC.

Casos especiales

  • K = 0: X = 0.
  • K = N: X = n.
  • n = 1: Bernoulli.
  • n = N: degenerada.

Fisher exacto

Tablas 2x2 con frecuencias esperadas pequeñas. H0: count hipergeometrica. p-valor exacto. Preferido a chi-cuadrado.

Aplicaciones

  • Control calidad muestreo.
  • Captura-recaptura ecologia.
  • Loterias.
  • Tests medicos Fisher.
  • Genetica.
  • Encuestas finitas.
  • Juegos cartas.
  • A/B testing.

Generalizaciones

  • Multivariada c categorías.
  • Negativa.
  • Beta-binomial.
  • Wallenius sesgada.

Captura-recaptura

Estimar N de dos capturas. Marcar K animales, liberar. Capturar n despues, contar k marcados. Lincoln-Petersen: N = Kn/k. Chapman corregida (menor sesgo): (K+1)(n+1)/(k+1) - 1. Hipótesis: población cerrada, marca no influye recaptura, capturabilidad homogenea.

Estimación de tamaño muestra

Para muestreo de control calidad: dato lote N con K defectuosos, calcular n mínimo per AOQL (Acceptable Quality Limit) deseato. Curva caratteristica operativa OC(p) = P(accept | p defettosi) basata su ipergeometrica per N finito (preferito a binomiale per piccoli lotti).

Historia

Laplace (1812 Theorie analytique des probabilites): primer estudio sistematico. Pearson (1899): análisis formal en sistema de Pearson. Fisher (1922-1935): test exacto para tablas 2x2. Lincoln (1930), Petersen (1896): captura-recaptura ecologica. Chapman (1951): corrección del sesgo del estimador.

Modos calculadora

Cinco: PMF, CDF, supervivencia, momentos FPC, comparación binomial. Log-factoriales por estabilidad.

El test exacto de Fisher y las tablas de contingencia 2x2

Uno de los usos mas importantes de la distribucion hipergeometrica no es calcular una probabilidad directamente sino contrastar una asociacion. Dispon los resultados de un estudio pequeno en una tabla de dos por dos, por ejemplo un tratamiento frente a un control contra un exito frente a un fracaso, y pregunta si las dos filas difieren mas de lo que permite el azar. Bajo la hipotesis nula de que los totales de fila y columna no guardan relacion, el recuento de una sola celda sigue exactamente una distribucion hipergeometrica, porque fijar los margenes equivale a extraer sin reemplazo de un conjunto finito. Este es el fundamento del test exacto de Fisher.

El test debe su nombre a que da una probabilidad exacta en lugar de una aproximacion. Sumar las probabilidades hipergeometricas de todas las tablas tan extremas o mas que la observada produce un valor p sin depender de los supuestos de gran muestra que hay tras el test de chi-cuadrado, por lo que es la eleccion estandar cuando los recuentos son pequenos. Ronald Fisher lo ideo en los anos veinte, ilustrandolo con la celebre dama que cataba te, y sigue siendo indispensable en medicina, genetica y cualquier campo donde una tabla de contingencia deba juzgarse con un punado de observaciones.

Muestreo sin reemplazo: control de calidad y juegos

El rasgo definitorio de la distribucion hipergeometrica es que cada extraccion cambia lo que queda, y en ningun sitio es mas practico que en el muestreo de aceptacion. Para decidir si aceptar o rechazar un lote de produccion, un inspector saca una muestra de n articulos de una partida de N y cuenta los defectuosos. Como los articulos no se devuelven, la probabilidad exacta de aprobar depende de la ley hipergeometrica, y los ingenieros de calidad la usan para disenar planes de muestreo que mantengan tanto el riesgo del productor como el del consumidor dentro de limites acordados. Tratar el problema como binomial exageraria la confianza siempre que la muestra sea una fraccion apreciable del lote.

Los juegos de azar son el otro hogar cotidiano de la distribucion. La probabilidad de sacar un cierto numero de ases en una mano de poquer, de acertar varios numeros en un billete de loteria o de tener un cierto recuento de un palo en el bridge son todas hipergeometricas, ya que las cartas y los billetes se extraen sin reemplazo. Comparar el resultado hipergeometrico con el binomial hace concreto el efecto del reemplazo: quitar cada articulo extraido estrecha la distribucion alrededor de su media, un ajuste capturado por el factor de correccion de poblacion finita, que reduce la varianza por la razon entre la poblacion restante y la total.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es la distribucion hipergeometrica?

Modela el numero de exitos en n extracciones SIN reemplazo de una poblacion finita de N elementos que contiene K exitos. Su PMF es P(X=k) = C(K,k) C(N-K,n-k) / C(N,n). Difiere de la binomial porque las extracciones no son independientes: cada extraccion cambia la composicion restante.

Que representan los parametros N, K, n, k?

N es el tamano total de la poblacion, K el numero de exitos presentes en la poblacion, n el tamano de la muestra extraida y k el numero de exitos observados en la muestra. El soporte de k va de max(0, n-(N-K)) a min(n, K): fuera de este intervalo la probabilidad es cero.

Cual es la diferencia con la distribucion binomial?

La binomial describe extracciones CON reemplazo, en las que la probabilidad de exito permanece constante y las pruebas son independientes. La hipergeometrica describe extracciones SIN reemplazo de una poblacion finita, asi que las pruebas son dependientes. Cuando n es muy pequeno respecto a N las dos distribuciones casi coinciden.

Como se calculan la media y la varianza?

La media es nK/N, exactamente como para la binomial con p = K/N. La varianza es nK(N-K)(N-n)/(N^2(N-1)), es decir la varianza binomial por el factor de correccion de poblacion finita (N-n)/(N-1). Este factor, siempre menor que 1, reduce la variabilidad respecto al muestreo con reemplazo.

Que es el factor de correccion de poblacion finita?

Es el termino (N-n)/(N-1) que multiplica la varianza binomial para dar la hipergeometrica. Refleja que extraer sin reemplazo reduce la incertidumbre: cuanto mayor es la muestra respecto a la poblacion, mas se aleja el factor de 1 y mas se concentra la distribucion en torno a la media.

Que es el test exacto de Fisher?

Es un test de asociacion para tablas de contingencia 2x2 basado en la distribucion hipergeometrica. Fijados los totales de fila y columna, el recuento de una celda sigue una hipergeometrica bajo la hipotesis nula. Sumar las probabilidades de los casos extremos da un valor p exacto, ideal cuando los recuentos son pequenos y el chi-cuadrado no es fiable.

Como se usa en el control de calidad?

En el muestreo de aceptacion se extrae una muestra de n piezas de un lote de N y se cuentan las defectuosas. Como las piezas no se reinsertan, la probabilidad exacta de aceptar el lote es hipergeometrica. Los ingenieros la usan para disenar planes de muestreo que controlan el riesgo del productor y del consumidor.

Como se aplica a la estimacion de poblaciones?

Con el metodo captura-recaptura: se capturan K animales, se marcan y se liberan; luego se captura una muestra de n y se cuentan los k marcados. La estimacion de Lincoln-Petersen es N = Kn/k, con la correccion de Chapman (K+1)(n+1)/(k+1) - 1 menos sesgada. Es fundamental en ecologia y epidemiologia.

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