Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung B(n, p) modelliert die Anzahl X der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Sie ist eine der grundlegenden diskreten Verteilungen in der Statistik. Komponenten: n ∈ ℕ Anzahl der Versuche; p ∈ [0, 1] Erfolgswahrscheinlichkeit; X ∈ {0, 1, ..., n} Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1−p)^(n−k), mit C(n, k) = n!/(k!(n−k)!) Binomialkoeffizient.

Bernoulli-Schema

Jeder einzelne Versuch ist ein Bernoulli-Experiment: zwei Ausgänge (Erfolg/Misserfolg, Kopf/Zahl, Ja/Nein, 1/0) mit Wahrscheinlichkeiten p und q = 1 − p. Die Binomialverteilung setzt drei Annahmen voraus: (1) feste Anzahl Versuche n; (2) unabhängige Versuche; (3) konstante p über alle Versuche. Bei Verletzung dieser Annahmen werden andere Modelle benötigt (z.B. hypergeometrisch für Ziehen ohne Zurücklegen).

Kumulative Wahrscheinlichkeit

Die Verteilungsfunktion F(k) = P(X ≤ k) = Σ_{i=0}^{k} C(n, i)·p^i·(1−p)^(n−i) liefert die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge. P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1). P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a−1). Beispiel: 10-mal faire Münze werfen (p = 0,5), Wahrscheinlichkeit genau 5 Kopf: C(10, 5)·0,5¹⁰ = 252/1024 ≈ 24,6 %. Wahrscheinlichkeit mindestens 7 Kopf ≈ 17,2 %.

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Für X ~ B(n, p): Erwartungswert E[X] = μ = n · p; Varianz Var(X) = σ² = n · p · (1−p) = n · p · q; Standardabweichung σ = √(n·p·q). Beispiel: n = 100 Münzwürfe → μ = 50, σ² = 25, σ = 5. Nach der empirischen Regel (ZGS): ~68 % der beobachteten Werte in [μ − σ, μ + σ] = [45, 55]; 95 % in [40, 60]; 99,7 % in [35, 65]. Der Modus (wahrscheinlichster Wert) ist ⌊(n+1)·p⌋, oder ⌊(n+1)·p⌋ − 1 wenn (n+1)·p ganzzahlig.

Normalverteilungs-Approximation

Für große n (typisch n ≥ 30 mit n·p ≥ 5 und n·q ≥ 5) nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung N(μ, σ²) an, mit μ = np, σ² = npq. Mit Stetigkeitskorrektur: P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − μ)/σ). Beispiel: X ~ B(100, 0,5), P(X ≤ 60) ≈ Φ(2,1) ≈ 0,9821. Wenn p sehr klein und n groß (np < 10), ist die Poisson-Näherung besser: P(X = k) ≈ λ^k · e^(−λ) / k!, mit λ = np.

Praktische Anwendungen

Die Binomialverteilung beschreibt: Qualitätskontrolle (Wahrscheinlichkeit von k defekten Teilen in einer Charge von n), Umfragen (aus Stichproben geschätzte Anteile), Genetik (Zahl der Individuen mit einem bestimmten Allel), Sport (Siege in n Spielen), Diagnostiktests (richtig Positive in n Tests), Zuverlässigkeit (n korrekt arbeitende Komponenten), Finanzen (Ausfälle in einem Portfolio). Im A/B-Testing Grundlage des Anteils-Z-Tests: Z = (p̂ − p₀)/√(p(1−p)/n).

Wichtige Grenzfälle

• n = 1: X ~ Bernoulli(p); P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p.
• p = 0: X stets 0; p = 1: X stets n.
• p = 0,5: symmetrische Verteilung um n/2.
• Summe binomialer ZV: unabhängige X ~ B(n₁, p), Y ~ B(n₂, p) → X + Y ~ B(n₁ + n₂, p).
• Komplement: X ~ B(n, p) → Y = n − X ~ B(n, 1 − p).
• Schiefe: (1 − 2p)/√(n·p·q); Exzess-Wölbung: (1 − 6pq)/(n·pq). Symmetrisch bei p = 0,5.

Bedienung

Vier Modi: exakte Wahrscheinlichkeit (n, k, p → P(X = k)); kumulativ (n, k, p → P(X ≤ k), P(X ≥ k), P(X > k), P(X < k)); Intervall (n, a, b, p → P(a ≤ X ≤ b)); Mittelwert und Varianz (n, p → μ, σ², σ, Modus). Direkte Berechnung für n ≤ 1000, Normalverteilungs-Approximation mit Stetigkeitskorrektur für größere n.

Aktualisiert im Juli 2026