Calcolatore Distribuzione Ipergeometrica (PMF, CDF, FPC)

Calcolatore distribuzione ipergeometrica: PMF, CDF, sopravvivenza, momenti, confronto con binomiale, fattore correzione popolazione finita FPC, Fisher esatto.

Parametri di calcolo
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Distribuzione ipergeometrica: definizione

La distribuzione ipergeometrica modella il numero di successi in un campione di n estrazioni SENZA RIMPIAZZO da una popolazione finita di N elementi, di cui K sono "successi" e N - K "fallimenti". Differisce dalla binomiale (con rimpiazzo) per la dipendenza tra estrazioni: la composizione della popolazione cambia ad ogni estrazione.

PMF: P(X = k) = C(K, k) C(N-K, n-k) / C(N, n)

per k in [max(0, n-(N-K)), min(n, K)]. C(a, b) e il coefficiente binomiale "a su b".

Parametri

  • N: dimensione popolazione totale (intero >= 1).
  • K: numero di successi nella popolazione (0 <= K <= N).
  • n: dimensione del campione estratto senza rimpiazzo (1 <= n <= N).
  • k: numero di successi osservati nel campione (variabile).

Esempio numerico classico

Urna con N = 50 palline, K = 10 nere e N - K = 40 bianche. Estraiamo n = 12 senza rimpiazzo. Probabilità di k = 3 nere:

P(X = 3) = C(10, 3) C(40, 9) / C(50, 12) = 120 * 273438880 / 121399651100 = 0.270 = 27.0 %

Media attesa = nK/N = 12 * 10/50 = 2.4. Varianza = 12 * 10 * 40 * 38 / (50^2 * 49) = 1.487, SD = 1.219. Quindi 3 e abbastanza tipico (entro 1 SD dalla media).

Momenti

  • Media: E[X] = n K / N.
  • Varianza: Var[X] = n K (N - K)(N - n) / (N^2 (N - 1)).
  • Skewness: (N - 2K)(N - 2n) sqrt(N - 1) / ((N - 2)sqrt(n K (N - K)(N - n))).
  • FPC (finite population correction): (N - n)/(N - 1) e il fattore di correzione popolazione finita. Per n piccolo rispetto a N: FPC ~ 1, ipergeometrica -> binomiale. Per n = N: FPC = 0, X = K esattamente (degenere).

Connessione con binomiale

La binomiale e l approssimazione asintotica della ipergeometrica per N -> infinito con p = K/N fisso:

P_iperg(X = k) -> P_binom(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n-k)

Regola pratica: se n/N <= 0.05 (campione meno del 5 % della popolazione), binomiale e accettabile (errore 0.10 differenze significative. La varianza ipergeometrica e SEMPRE minore della binomiale di un fattore FPC = (N-n)/(N-1): senza rimpiazzo concentra la distribuzione.

Casi notevoli

  • K = 0: P(X = 0) = 1, X = 0 sempre.
  • K = N: P(X = n) = 1, X = n sempre.
  • n = 1: P(X = 1) = K/N (Bernoulli singola).
  • n = N: P(X = K) = 1, distribuzione degenere (estrai tutto).
  • K = N/2 e n piccolo: simmetrica intorno a n/2.

Test di Fisher esatto

Il test di Fisher per tabelle di contingenza 2x2 usa la distribuzione ipergeometrica:

SuccessoFallimentoTotale
Gruppo 1aba+b = n
Gruppo 2cdc+d
Totalea+c = Kb+dN = a+b+c+d

Sotto H0 (no associazione): X = a ~ Hypergeometric(N, K, n). p-value: P(X >= a | margins fissi) (one-tailed). Il test e ESATTO (non asintotico), preferibile a chi-quadrato per piccole frequenze attese.

Applicazioni

  • Quality control: lot acceptance sampling. N pezzi, K difettosi, ispezione di n. Ipergeometrica calcola P(accettare lotto buono) e P(rifiutare lotto cattivo).
  • Capture-recapture (ecologia): stimare popolazione N da catture multiple. Lincoln-Petersen: N stimato = K * n / k.
  • Lotterie: probabilità di vincita combinazioni di numeri (es. SuperEnalotto).
  • Test medici: Fisher esatto per associazione tra trattamento e esito.
  • Genetica: campionamento di individui rari da popolazioni.
  • Sondaggi: campionamento senza rimpiazzo da popolazione finita.
  • Card games: probabilità carte specifiche in poker, bridge.
  • A/B testing: small sample size con rimpiazzo limitato.

Generalizzazioni

  • Ipergeometrica multivariata: K_1, K_2, ..., K_c categorie (analogo multinomiale).
  • Negativa ipergeometrica: numero estrazioni per ottenere k successi.
  • Beta-binomiale: limite asintotico di ipergeometrica con probabilità variabile.
  • Wallenius non-central: estrazione con peso (bias).

Stima della popolazione (Lincoln-Petersen)

Cattura-ricattura: catturare K animali e marcarli (rilascio). Tempo dopo, catturare n animali e contare k marcati. Stima:

N_stimato = K * n / k (Lincoln 1930, Petersen 1896)

Bias: stima ML e biased per piccoli k. Stima Chapman (1951) corretta:

N_chap = (K + 1)(n + 1)/(k + 1) - 1

Ipotesi cruciali: popolazione chiusa (no nascite/morti tra catture), marcatura non influenza ricattura, omogeneita catturabilita. Test di chiusura disponibili.

Storia

Pierre-Simon Laplace (1812, "Theorie analytique des probabilites"): primo studio sistematico. Karl Pearson (1899): analisi formale come parte del sistema di Pearson. Fisher (1922-1935): test esatto per tabelle 2x2. Lincoln (1930), Petersen (1896): cattura-ricattura. Chapman (1951): correzione bias estimatore. Standard in statistica matematica e teoria del campionamento.

Modalita del calcolatore

Cinque modalita: PMF (probabilità esatta), CDF (cumulativa), sopravvivenza P(X >= k), momenti riassuntivi con FPC, confronto numerico con approssimazione binomiale. Calcolo via logaritmi di fattoriali per stabilità numerica.

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cos'e la distribuzione ipergeometrica?

Modella il numero di successi in n estrazioni SENZA rimpiazzo da una popolazione finita di N elementi contenente K successi. La sua PMF e P(X=k) = C(K,k) C(N-K,n-k) / C(N,n). Differisce dalla binomiale perche le estrazioni non sono indipendenti: ogni pescata cambia la composizione residua.

Cosa rappresentano i parametri N, K, n, k?

N e la dimensione totale della popolazione, K il numero di successi presenti nella popolazione, n la dimensione del campione estratto e k il numero di successi osservati nel campione. Il supporto di k va da max(0, n-(N-K)) a min(n, K): fuori da questo intervallo la probabilita e zero.

Qual e la differenza con la distribuzione binomiale?

La binomiale descrive estrazioni CON rimpiazzo, in cui la probabilita di successo resta costante e le prove sono indipendenti. L'ipergeometrica descrive estrazioni SENZA rimpiazzo da una popolazione finita, quindi le prove sono dipendenti. Quando n e molto piccolo rispetto a N le due distribuzioni quasi coincidono.

Come si calcolano media e varianza?

La media e nK/N, esattamente come per la binomiale con p = K/N. La varianza e nK(N-K)(N-n)/(N^2(N-1)), cioe la varianza binomiale moltiplicata per il fattore di correzione di popolazione finita (N-n)/(N-1). Questo fattore, sempre minore di 1, riduce la variabilita rispetto al campionamento con rimpiazzo.

Cos'e il fattore di correzione di popolazione finita?

E il termine (N-n)/(N-1) che moltiplica la varianza binomiale per ottenere quella ipergeometrica. Riflette il fatto che estrarre senza rimpiazzo riduce l'incertezza: piu grande e il campione rispetto alla popolazione, piu il fattore si allontana da 1 e piu la distribuzione si concentra attorno alla media.

Cos'e il test esatto di Fisher?

E un test di associazione per tabelle di contingenza 2x2 basato sulla distribuzione ipergeometrica. Fissati i totali di riga e colonna, il conteggio di una cella segue una ipergeometrica sotto l'ipotesi nulla. Sommando le probabilita dei casi estremi si ottiene un valore p esatto, ideale quando i conteggi sono piccoli e il chi-quadro non e affidabile.

Come si usa nel controllo qualita?

Nel campionamento di accettazione si estrae un campione di n pezzi da un lotto di N e si contano i difettosi. Poiche i pezzi non vengono reinseriti, la probabilita esatta di accettare il lotto e ipergeometrica. Gli ingegneri la usano per progettare piani di campionamento che controllano rischio del produttore e del consumatore.

Come si applica alla stima di popolazioni?

Con il metodo cattura-ricattura: si catturano K animali, si marcano e si liberano; poi si cattura un campione di n e si contano i k marcati. La stima di Lincoln-Petersen e N = Kn/k, con la correzione di Chapman (K+1)(n+1)/(k+1) - 1 meno distorta. E fondamentale in ecologia ed epidemiologia.

Formula

PMF: P(X=k) = C(K,k) C(N-K,n-k) / C(N,n). Mean nK/N. Variance nK(N-K)(N-n)/(N^2(N-1)). FPC = (N-n)/(N-1). Lincoln-Petersen: N_est = Kn/k.

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