Teilerfunktionen Rechner sigma_k(n), d(n) (Tau)

Teilerfunktionen-Rechner d(n) und sigma_k(n): Teilerzählung tau, Teilersumme, Klassifikation vollkommen, abundant, defizient und Mersenne-Primzahl-Beispiele.

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Teilerfunktionen sigma_k(n)

Die Teilerfunktionen sigma_k(n) sind Summen der k-ten Potenzen positiver Teiler von n: sigma_k(n) = sum_{d|n} d^k. Fälle: sigma_0 = d(n) zählt Teiler, sigma_1 = sigma(n) Summe, sigma_2 Quadrate.

Definitionen

n = 12, Teiler {1, 2, 3, 4, 6, 12}: d(12) = 6, sigma(12) = 28, sigma_2(12) = 210. Für p prim: d(p) = 2, sigma(p) = p+1.

Multiplikativität

sigma_k MULTIPLIKATIV. Für p prim: sigma_k(p^a) = (p^(k(a+1)) - 1) / (p^k - 1) wenn k != 0; d(p^a) = a + 1.

Vollkommene, abundante, defiziente Zahlen

  • VOLLKOMMEN: sigma(n) = 2n. Beispiele: 6, 28, 496.
  • ABUNDANT: sigma(n) > 2n. 12 (28>24).
  • DEFIZIENT: sigma(n) < 2n. Mehrheit.

Gerade vollkommene Zahlen (Euklid-Euler)

Euklid: wenn 2^p - 1 prim (Mersenne), dann 2^(p-1)(2^p-1) vollkommen. Euler 1747: alle geraden haben diese Form. 51 gerade vollkommene bekannt (2018). Verbunden mit Mersenne-Primzahlen.

Ungerade vollkommene Zahlen

Offen. Keine < 10^1500. Mehrheit vermutet Nicht-Existenz.

Asymptotisches Wachstum

  • d(n) Mittelwert: ln N + 2 gamma - 1 (Dirichlet 1849).
  • d(n) Maximum: 2^((1+e) ln n / ln ln n).
  • sigma(n) Mittelwert: pi^2/12 * N.
  • sigma(n) Maximum: e^gamma n ln ln n.

Verbindung zur Riemann-Zeta

sum sigma_k(n)/n^s = zeta(s) zeta(s-k). Teilerverteilung verbunden mit Zeta-Nullstellen.

Befreundete Zahlen

(m, n) mit sigma(m) - m = n, sigma(n) - n = m. (220, 284) Pythagoras. (1184, 1210) Paganini 1866. ~12 Millionen bekannt.

Unberührbare Zahlen

n niemals sigma(m) - m. 2, 5, 52, 88, 96, 120... Erdös vermutet unendlich viele.

Anwendungen

  • Analytische Zahlentheorie.
  • Kryptographie.
  • Dynamische Systeme.
  • Kombinatorik Partitionen.
  • Algorithmenkomplexität.
  • Statistische Physik.

Geschichte

Pythagoreer Vollkommene. Euklid 300 v. Chr. Formel gerade. Mersenne 1644 Primzahlen. Euler 1747 Umkehrung. Dirichlet 1849 Asymptotik. Wigert 1907 Maxima. Hardy-Ramanujan 1917, Erdös-Kac 1939.

Das Dirichletsche Teilerproblem

Die Teileranzahl d(n) schwankt unregelmassig, doch ihr Mittel folgt einem genauen Gesetz. Dirichlet bewies 1849, dass die Summe d(1) + d(2) + ... + d(n) gleich n ln n + (2 gamma - 1) n + Delta(n) ist, wobei gamma die Euler-Mascheroni-Konstante und Delta(n) ein Fehlerterm ist. Die Frage, wie klein Delta(n) sein kann, ist das beruhmte Dirichletsche Teilerproblem, nach mehr als anderthalb Jahrhunderten noch offen.

Dirichlet selbst bewies Delta(n) = O(Wurzel n) mit der Hyperbelmethode, die die Gitterpunkte unter xy = n zahlt. Seither wurde der Exponent schrittweise gesenkt: man weiss, dass Delta(n) gleich O(n^theta) mit theta heute um 0,314 ist, und man vermutet, dass der optimale Wert theta = 1/4 ist, wie der mittlere quadratische Fehlerterm nahelegt. Es ist ein eng mit dem Problem der Gitterpunkte im Gaussschen Kreis verwandtes Problem, beide an der Grenze zwischen analytischer Zahlentheorie und diskreter Geometrie.

Aliquotfolgen und die Catalan-Dickson-Vermutung

Durch Iteration der Summe-der-echten-Teiler-Funktion s(n) = sigma(n) - n entsteht die Aliquotfolge von n: man beginnt bei n, berechnet s(n), dann s(s(n)) und so weiter. Vollkommene Zahlen sind Fixpunkte (s(n) = n), befreundete Paare Zyklen der Lange zwei, gesellige Zahlen langere Zyklen. Doch das allgemeine Verhalten dieser Folgen ist erstaunlich ratselhaft.

Die Catalan-Dickson-Vermutung besagt, dass jede Aliquotfolge entweder durch Erreichen von 1 endet (nachdem sie eine Primzahl getroffen hat) oder in einen periodischen Zyklus eintritt und in jedem Fall beschrankt bleibt. Niemand hat sie bewiesen oder widerlegt: es gibt Zahlen, die "Lehmer-Funf" ab 276, deren Aliquotfolgen uber Tausende von Gliedern berechnet wurden, ohne dass man weiss, ob sie enden oder unbegrenzt wachsen. Es ist eines der faszinierendsten Probleme der Zahlentheorie, elementar zu formulieren, aber losungsresistent.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was sind die Teilerfunktionen sigma_k(n)?

Es sind die Funktionen, die die k-ten Potenzen der Teiler von n summieren: sigma_k(n) = Summe von d^k uber alle Teiler d von n. Die Hauptfalle sind sigma_0(n) = d(n), die Teileranzahl, und sigma_1(n) = sigma(n), die Teilersumme.

Was ist die Teileranzahlfunktion d(n)?

Es ist sigma_0(n), die zahlt, wie viele positive Teiler n hat. Aus der Faktorisierung n = p1^a1 ... pr^ar erhalt man d(n) = (a1+1)(a2+1)...(ar+1). Zum Beispiel d(12) = d(2^2 * 3) = 3*2 = 6, weil 12 die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12 hat.

Was ist eine vollkommene Zahl?

Es ist eine Zahl gleich der Summe ihrer echten Teiler, also sigma(n) = 2n. Die ersten sind 6, 28, 496, 8128. Alle geraden vollkommenen Zahlen haben die Euklid-Euler-Form 2^(p-1)(2^p-1) mit 2^p-1 einer Mersenne-Primzahl. 51 sind bekannt; die Existenz ungerader vollkommener Zahlen ist ein offenes Problem.

Was sind abundante und defiziente Zahlen?

Eine Zahl ist abundant, wenn die Summe ihrer echten Teiler sie ubersteigt (sigma(n) > 2n), defizient, wenn sie kleiner ist (sigma(n) 12), wahrend 8 defizient ist (1+2+4=7 < 8). Vollkommene Zahlen liegen genau an der Grenze.

Was bedeutet, dass sigma_k multiplikativ ist?

Es bedeutet, dass sigma_k(mn) = sigma_k(m) sigma_k(n) gilt, wenn m und n teilerfremd sind. Dies erlaubt, sigma_k jeder Zahl aus ihren Primfaktoren zu berechnen, mit der Formel sigma_k(p^a) = (p^(k(a+1)) - 1)/(p^k - 1) fur jede Primzahlpotenz.

Welche Verbindung haben sie zur Zeta-Funktion?

Die Teilerfunktionen erscheinen in der Dirichlet-Reihe zeta(s) zeta(s-k) = Summe von sigma_k(n)/n^s. Diese Identitat verbindet die arithmetischen Eigenschaften der Teiler mit der analytischen Zahlentheorie und der Riemannschen Zeta-Funktion, deren Verhalten die Teiler teilweise kodieren.

Was ist das Dirichletsche Teilerproblem?

Es ist die Frage, wie klein der Fehlerterm Delta(n) in der Summe der d(k) ~ n ln n + (2 gamma - 1) n sein kann. Dirichlet bewies Delta(n) = O(Wurzel n); man vermutet theta = 1/4, doch der genaue Wert ist noch unbekannt, eines der klassischen offenen Probleme.

Was sind Aliquotfolgen?

Es sind die durch Iteration von s(n) = sigma(n) - n, der Summe der echten Teiler, erhaltenen Folgen. Vollkommene Zahlen sind Fixpunkte, befreundete Zyklen der Lange zwei. Die Catalan-Dickson-Vermutung besagt, dass jede Folge beschrankt bleibt, doch fur Zahlen wie 276 ist noch unbekannt, ob sie enden.

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