Calculadora Funciones Divisores sigma_k(n), d(n)

Calculadora funciones divisores d(n) y sigma_k(n): conteo divisores tau, suma divisores, clasificación perfectos abundantes deficientes, primos Mersenne.

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Funciones divisores sigma_k(n)

Las funciones divisores sigma_k(n) son sumas de potencias k-esimas de divisores positivos de n: sigma_k(n) = sum_{d|n} d^k. Casos: sigma_0 = d(n) cuenta divisores, sigma_1 = sigma(n) suma, sigma_2 cuadrados.

Definiciones

n = 12, divisores {1, 2, 3, 4, 6, 12}: d(12) = 6, sigma(12) = 28, sigma_2(12) = 210. Para p primo: d(p) = 2, sigma(p) = p+1.

Multiplicatividad

sigma_k MULTIPLICATIVA. Para p primo: sigma_k(p^a) = (p^(k(a+1)) - 1) / (p^k - 1) si k != 0; d(p^a) = a + 1.

Numeros perfectos, abundantes, deficientes

  • PERFECTO: sigma(n) = 2n. Ejemplos: 6, 28, 496.
  • ABUNDANTE: sigma(n) > 2n. 12 (28>24).
  • DEFICIENTE: sigma(n) < 2n. Mayoria.

Numeros perfectos pares (Euclides-Euler)

Euclides: si 2^p - 1 primo (Mersenne), 2^(p-1)(2^p-1) es perfecto. Euler 1747: todos los pares tienen esta forma. 51 perfectos pares conocidos (2018). Conectados a primos Mersenne.

Numeros perfectos impares

Abierto. No < 10^1500. Mayoria conjetura no existencia.

Crecimiento asintotico

  • d(n) media: ln N + 2 gamma - 1 (Dirichlet 1849).
  • d(n) máximo: 2^((1+e) ln n / ln ln n).
  • sigma(n) media: pi^2/12 * N.
  • sigma(n) máximo: e^gamma n ln ln n.

Conexion zeta Riemann

sum sigma_k(n)/n^s = zeta(s) zeta(s-k). Distribución divisores conectada a ceros zeta.

Numeros amigos

(m, n) con sigma(m) - m = n, sigma(n) - n = m. (220, 284) Pitagoras. (1184, 1210) Paganini 1866. ~12 millones conocidos.

Numeros intocables

n nunca sigma(m) - m. 2, 5, 52, 88, 96, 120... Erdos conjetura infinitos.

Aplicaciones

  • Teoría analitica numeros.
  • Criptografia.
  • Sistemas dinamicos.
  • Combinatoria particiones.
  • Complejidad algoritmos.
  • Física estadística.

Historia

Pitagoricos perfectos. Euclides 300 a.C. formula pares. Mersenne 1644 primos. Euler 1747 reciproco. Dirichlet 1849 asintotica. Wigert 1907 maximos. Hardy-Ramanujan 1917, Erdos-Kac 1939.

El problema de los divisores de Dirichlet

El numero de divisores d(n) oscila de forma irregular, pero su media sigue una ley precisa. Dirichlet demostro en 1849 que la suma d(1) + d(2) + ... + d(n) vale n ln n + (2 gamma - 1) n + Delta(n), donde gamma es la constante de Euler-Mascheroni y Delta(n) es un termino de error. La pregunta de cuan pequeno puede ser Delta(n) es el celebre problema de los divisores de Dirichlet, aun abierto tras mas de siglo y medio.

Dirichlet mismo demostro Delta(n) = O(raiz n), con el metodo de la hiperbola que cuenta los puntos reticulares bajo xy = n. Desde entonces el exponente se ha reducido progresivamente: se sabe que Delta(n) es O(n^theta) con theta hoy en torno a 0,314, y se conjetura que el valor optimo es theta = 1/4, como sugiere el termino de error cuadratico medio. Es un problema estrechamente emparentado con el de los puntos reticulares en el circulo de Gauss, ambos en la frontera entre teoria analitica de numeros y geometria discreta.

Secuencias alicuotas y la conjetura de Catalan-Dickson

Iterando la funcion suma de divisores propios s(n) = sigma(n) - n se genera la secuencia alicuota de n: se parte de n, se calcula s(n), luego s(s(n)) y asi sucesivamente. Los numeros perfectos son puntos fijos (s(n) = n), las parejas amigas ciclos de longitud dos, los numeros sociables ciclos mas largos. Pero el comportamiento general de estas secuencias es sorprendentemente misterioso.

La conjetura de Catalan-Dickson afirma que toda secuencia alicuota o bien termina alcanzando 1 (tras tocar un primo) o bien entra en un ciclo periodico, permaneciendo en todo caso acotada. Nadie la ha demostrado ni refutado: existen numeros, los "cinco de Lehmer" a partir de 276, cuyas secuencias alicuotas se han calculado para miles de terminos sin saber si terminan o crecen indefinidamente. Es uno de los problemas mas fascinantes, elementales de enunciar pero resistentes a la solucion, de la teoria de numeros.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que son las funciones divisores sigma_k(n)?

Son las funciones que suman las potencias k-esimas de los divisores de n: sigma_k(n) = suma de d^k sobre todos los divisores d de n. Los casos principales son sigma_0(n) = d(n), el numero de divisores, y sigma_1(n) = sigma(n), la suma de los divisores.

Que es la funcion numero de divisores d(n)?

Es sigma_0(n), que cuenta cuantos divisores positivos tiene n. De la factorizacion n = p1^a1 ... pr^ar se obtiene d(n) = (a1+1)(a2+1)...(ar+1). Por ejemplo d(12) = d(2^2 * 3) = 3*2 = 6, porque 12 tiene los divisores 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Que es un numero perfecto?

Es un numero igual a la suma de sus divisores propios, es decir sigma(n) = 2n. Los primeros son 6, 28, 496, 8128. Todos los perfectos pares tienen la forma de Euclides-Euler 2^(p-1)(2^p-1) con 2^p-1 primo de Mersenne. Se conocen 51; la existencia de perfectos impares es un problema abierto.

Que son los numeros abundantes y deficientes?

Un numero es abundante si la suma de sus divisores propios lo supera (sigma(n) > 2n), deficiente si es menor (sigma(n) 12), mientras 8 es deficiente (1+2+4=7 < 8). Los perfectos estan justo en la frontera.

Que significa que sigma_k es multiplicativa?

Significa que si m y n son coprimos, sigma_k(mn) = sigma_k(m) sigma_k(n). Esto permite calcular sigma_k de cualquier numero a partir de sus factores primos, con la formula sigma_k(p^a) = (p^(k(a+1)) - 1)/(p^k - 1) para cada potencia de primo.

Que relacion tienen con la funcion zeta?

Las funciones divisores aparecen en la serie de Dirichlet zeta(s) zeta(s-k) = suma de sigma_k(n)/n^s. Esta identidad conecta las propiedades aritmeticas de los divisores con la teoria analitica de numeros y la funcion zeta de Riemann, cuyo comportamiento los divisores codifican en parte.

Que es el problema de los divisores de Dirichlet?

Es la pregunta de cuan pequeno puede ser el termino de error Delta(n) en la suma de d(k) ~ n ln n + (2 gamma - 1) n. Dirichlet demostro Delta(n) = O(raiz n); se conjetura theta = 1/4 pero el valor exacto sigue siendo desconocido, uno de los problemas abiertos clasicos.

Que son las secuencias alicuotas?

Son las secuencias obtenidas iterando s(n) = sigma(n) - n, la suma de divisores propios. Los perfectos son puntos fijos, los amigos ciclos de dos. La conjetura de Catalan-Dickson afirma que toda secuencia queda acotada, pero para numeros como 276 aun se ignora si terminan.

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