Calculatrice Fonctions Diviseurs sigma_k(n), d(n)

Calculatrice fonctions diviseurs d(n) et sigma_k(n): comptage diviseurs tau, somme diviseurs, classification parfaits abondants deficients, premiers Mersenne.

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Fonctions diviseurs sigma_k(n)

Les fonctions diviseurs sigma_k(n) sont sommes de puissances k-iemes des diviseurs positifs de n: sigma_k(n) = sum_{d|n} d^k. Cas: sigma_0 = d(n) compte diviseurs, sigma_1 = sigma(n) somme, sigma_2 carres.

Definitions

n = 12, diviseurs {1, 2, 3, 4, 6, 12}: d(12) = 6, sigma(12) = 28, sigma_2(12) = 210. Pour p premier: d(p) = 2, sigma(p) = p+1.

Multiplicativite

sigma_k MULTIPLICATIVE. Pour p premier: sigma_k(p^a) = (p^(k(a+1)) - 1) / (p^k - 1) si k != 0; d(p^a) = a + 1.

Nombres parfaits, abondants, deficients

  • PARFAIT: sigma(n) = 2n. Exemples: 6, 28, 496.
  • ABONDANT: sigma(n) > 2n. 12 (28>24).
  • DEFICIENT: sigma(n) < 2n. Majorite.

Nombres parfaits pairs (Euclide-Euler)

Euclide: si 2^p - 1 premier (Mersenne), 2^(p-1)(2^p-1) est parfait. Euler 1747: tous les pairs ont cette forme. 51 parfaits pairs connus (2018). Connectes aux nombres premiers de Mersenne.

Nombres parfaits impairs

Ouvert. Aucun < 10^1500. Majorite conjecture non-existence.

Croissance asymptotique

  • d(n) moyenne: ln N + 2 gamma - 1 (Dirichlet 1849).
  • d(n) maximum: 2^((1+e) ln n / ln ln n).
  • sigma(n) moyenne: pi^2/12 * N.
  • sigma(n) maximum: e^gamma n ln ln n.

Connexion zeta Riemann

sum sigma_k(n)/n^s = zeta(s) zeta(s-k). Distribution diviseurs connectee aux zeros zeta.

Nombres amicaux

(m, n) avec sigma(m) - m = n, sigma(n) - n = m. (220, 284) Pythagore. (1184, 1210) Paganini 1866. ~12 millions connus.

Nombres intouchables

n jamais sigma(m) - m. 2, 5, 52, 88, 96, 120... Erdos conjecture infinis.

Applications

  • Théorie analytique nombres.
  • Cryptographie.
  • Systèmes dynamiques.
  • Combinatoire partitions.
  • Complexite algorithmes.
  • Physique statistique.

Histoire

Pythagoriciens parfaits. Euclide 300 av. J.-C. formule pairs. Mersenne 1644 premiers. Euler 1747 reciproque. Dirichlet 1849 asymptotique. Wigert 1907 maxima. Hardy-Ramanujan 1917, Erdos-Kac 1939.

Le probleme des diviseurs de Dirichlet

Le nombre de diviseurs d(n) oscille de facon irreguliere, mais sa moyenne suit une loi precise. Dirichlet demontra en 1849 que la somme d(1) + d(2) + ... + d(n) vaut n ln n + (2 gamma - 1) n + Delta(n), ou gamma est la constante d'Euler-Mascheroni et Delta(n) un terme d'erreur. La question de savoir a quel point Delta(n) peut etre petit est le celebre probleme des diviseurs de Dirichlet, encore ouvert apres plus d'un siecle et demi.

Dirichlet lui-meme demontra Delta(n) = O(racine n), avec la methode de l'hyperbole qui compte les points reticulaires sous xy = n. Depuis l'exposant a ete progressivement abaisse : on sait que Delta(n) est O(n^theta) avec theta aujourd'hui autour de 0,314, et on conjecture que la valeur optimale est theta = 1/4, comme le suggere le terme d'erreur quadratique moyen. C'est un probleme etroitement apparente a celui des points reticulaires dans le cercle de Gauss, tous deux a la frontiere entre theorie analytique des nombres et geometrie discrete.

Suites aliquotes et la conjecture de Catalan-Dickson

En iterant la fonction somme des diviseurs propres s(n) = sigma(n) - n on engendre la suite aliquote de n : on part de n, on calcule s(n), puis s(s(n)) et ainsi de suite. Les nombres parfaits sont des points fixes (s(n) = n), les paires amicales des cycles de longueur deux, les nombres sociables des cycles plus longs. Mais le comportement general de ces suites est etonnamment mysterieux.

La conjecture de Catalan-Dickson affirme que toute suite aliquote soit se termine en atteignant 1 (apres avoir touche un premier), soit entre dans un cycle periodique, restant en tout cas bornee. Personne ne l'a demontree ni refutee : il existe des nombres, les "cinq de Lehmer" a partir de 276, dont les suites aliquotes ont ete calculees sur des milliers de termes sans qu'on sache si elles se terminent ou croissent indefiniment. C'est l'un des problemes les plus fascinants, elementaires a enoncer mais resistants a la solution, de la theorie des nombres.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Que sont les fonctions diviseurs sigma_k(n) ?

Ce sont les fonctions qui somment les puissances k-emes des diviseurs de n : sigma_k(n) = somme de d^k sur tous les diviseurs d de n. Les cas principaux sont sigma_0(n) = d(n), le nombre de diviseurs, et sigma_1(n) = sigma(n), la somme des diviseurs.

Qu'est-ce que la fonction nombre de diviseurs d(n) ?

C'est sigma_0(n), qui compte combien de diviseurs positifs a n. De la factorisation n = p1^a1 ... pr^ar on obtient d(n) = (a1+1)(a2+1)...(ar+1). Par exemple d(12) = d(2^2 * 3) = 3*2 = 6, car 12 a les diviseurs 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Qu'est-ce qu'un nombre parfait ?

C'est un nombre egal a la somme de ses diviseurs propres, c'est-a-dire sigma(n) = 2n. Les premiers sont 6, 28, 496, 8128. Tous les parfaits pairs ont la forme d'Euclide-Euler 2^(p-1)(2^p-1) avec 2^p-1 premier de Mersenne. On en connait 51 ; l'existence de parfaits impairs est un probleme ouvert.

Que sont les nombres abondants et deficients ?

Un nombre est abondant si la somme de ses diviseurs propres le depasse (sigma(n) > 2n), deficient si elle est moindre (sigma(n) 12), tandis que 8 est deficient (1+2+4=7 < 8). Les parfaits sont exactement a la frontiere.

Que signifie que sigma_k est multiplicative ?

Cela signifie que si m et n sont premiers entre eux, sigma_k(mn) = sigma_k(m) sigma_k(n). Cela permet de calculer sigma_k de tout nombre a partir de ses facteurs premiers, avec la formule sigma_k(p^a) = (p^(k(a+1)) - 1)/(p^k - 1) pour chaque puissance de premier.

Quel lien ont-elles avec la fonction zeta ?

Les fonctions diviseurs apparaissent dans la serie de Dirichlet zeta(s) zeta(s-k) = somme de sigma_k(n)/n^s. Cette identite relie les proprietes arithmetiques des diviseurs a la theorie analytique des nombres et a la fonction zeta de Riemann, dont les diviseurs codent en partie le comportement.

Qu'est-ce que le probleme des diviseurs de Dirichlet ?

C'est la question de savoir a quel point le terme d'erreur Delta(n) peut etre petit dans la somme des d(k) ~ n ln n + (2 gamma - 1) n. Dirichlet demontra Delta(n) = O(racine n) ; on conjecture theta = 1/4 mais la valeur exacte reste inconnue, un des problemes ouverts classiques.

Que sont les suites aliquotes ?

Ce sont les suites obtenues en iterant s(n) = sigma(n) - n, la somme des diviseurs propres. Les parfaits sont des points fixes, les amicaux des cycles de deux. La conjecture de Catalan-Dickson affirme que toute suite reste bornee, mais pour des nombres comme 276 on ignore encore si elles se terminent.

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