Partitionsfunktion p(n) Rechner (Euler, Hardy-Ramanujan)

Partitionsfunktion Rechner p(n): pentagonale Rekurrenz nach Euler, disjunkte Teile q(n), Partitionen in k Teile und asymptotische Hardy-Ramanujan-Näherung.

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Die Partitionsfunktion

Die Partitionsfunktion p(n) zählt, auf wie viele Arten eine positive ganze Zahl n als Summe positiver ganzer Zahlen geschrieben werden kann, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Beispielsweise p(4) = 5, da 4 = 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1. Sie ist eines der meistuntersuchten Objekte der additiven Zahlentheorie mit tiefen Verbindungen zu Modulformen und Darstellungstheorie.

Anfangswerte

p(0)=1, p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5, p(5)=7, p(6)=11, p(7)=15, p(8)=22, p(9)=30, p(10)=42, p(100)=190569292. Wachstum sub-exponentiell: ~ exp(c*sqrt(n)).

Eulers erzeugende Funktion

Euler (1741) entdeckte:

Sigma_{n>=0} p(n) * x^n = Prod_{k=1}^{unendlich} 1/(1 - x^k)

Er bewies auch: q(n) = Partitionen in verschiedene Teile = Partitionen in ungerade Teile.

Pentagonalzahlensatz

Prod_{k>=1} (1 - x^k) = 1 + Sigma_{m!=0} (-1)^m * x^(m(3m-1)/2)

Liefert die pentagonale Rekurrenz: p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + p(n-12) + p(n-15) - ... in O(n^1.5).

Hardy-Ramanujan-Formel

Hardy-Ramanujan (1918): p(n) ~ (1/(4n*sqrt(3))) * exp(pi * sqrt(2n/3))

Für n=100 beträgt der relative Fehler nur 0.4%; für n=1000 sinkt er auf 0.05%.

Konvergente Reihe von Rademacher

Rademacher (1937) verbesserte Hardy-Ramanujan zu einer konvergierenden exakten Reihe mit Kloosterman-Summen. Abgeschnitten nach dem ersten Term ergibt sich Hardy-Ramanujan.

Fünf Modi

  1. Einzelnes p(n) mit pentagonaler Rekurrenz.
  2. Folge p(0..n).
  3. q(n) verschiedene Teile.
  4. p(n, k) genau k Teile.
  5. Hardy-Ramanujan mit relativem Fehler.

Ramanujans Kongruenzen

  • p(5k + 4) ≡ 0 (mod 5)
  • p(7k + 5) ≡ 0 (mod 7)
  • p(11k + 6) ≡ 0 (mod 11)

Ahlgren und Ono (2000) verallgemeinerten dies auf alle Primzahlen >= 5.

Anwendungen

  • Darstellungstheorie: irreduzible Darstellungen von S_n werden durch Partitionen indiziert.
  • Statistische Physik: Bose-Einstein-Bosonen.
  • Stringtheorie: bosonisches Spektrum.
  • Kombinatorik: Young-Tableaus.

Geschichte der Partitionsfunktion

Das Studium der Zahlpartitionen geht auf Leonhard Euler zurück, der im 18. Jahrhundert ihre erzeugende Funktion und den berühmten Pentagonalzahlensatz fand, die Grundlage jeder effizienten Berechnung von p(n). Doch die legendärste Seite wurde 1918 durch die Zusammenarbeit von G. H. Hardy und Srinivasa Ramanujan geschrieben. Das geniale, autodidaktische indische Mathematiker und der strenge Cambridge-Professor entwickelten gemeinsam eine überraschend genaue asymptotische Formel für p(n), ein Ergebnis, das die Geburt der "Kreismethode" in der Analysis markierte. Zuvor hatte der Mathematiker Percy MacMahon mit außerordentlicher Geduld von Hand die Werte von p(n) bis p(200) = 3.972.999.029.388 berechnet, Tabellen, die Ramanujan nutzte, um seine berühmten Kongruenzen zu erahnen. Die Partitionsfunktion bleibt eine faszinierende Brücke zwischen Kombinatorik, Analysis und Zahlentheorie.

Partitionen in der statistischen Physik

Zahlpartitionen sind nicht nur ein mathematisches Spiel: sie erscheinen natürlich in der statistischen Mechanik und der Quantenphysik. Verteilt man identische Energiequanten auf die Niveaus eines Systems, wie bei Bosonen, die der Bose-Einstein-Statistik gehorchen, so wird die Anzahl der Möglichkeiten, die Gesamtenergie aufzuteilen, gerade von den Partitionen bestimmt. In der Stringtheorie und beim Studium Schwarzer Löcher zählt die Partitionsfunktion die mikroskopischen Zustände, die einer gegebenen Energie entsprechen, und verbindet sich mit der Entropie. Das nahezu exponentielle Wachstum von p(n), beschrieben durch die Hardy-Ramanujan-Formel, spiegelt die sehr rasche Vervielfachung der zugänglichen Zustände mit steigender Energie wider. Diese tiefe Verbindung zwischen Kombinatorik und Physik macht die Partitionsfunktion zu einem überraschend universellen Werkzeug.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Partitionsfunktion p(n)?

Die Partitionsfunktion p(n) zählt, auf wie viele verschiedene Weisen sich eine positive ganze Zahl n als Summe positiver ganzer Zahlen schreiben lässt, ohne Rücksicht auf die Reihenfolge der Summanden. Zum Beispiel ist p(4) = 5, denn 4 lässt sich als 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 und 1+1+1+1 schreiben. Sie ist eine der grundlegenden Funktionen der Kombinatorik und Zahlentheorie, mit überraschend schnellem Wachstum bei steigendem n.

Was ist der Pentagonalzahlensatz?

Es ist ein Ergebnis Eulers, das eine effiziente Rekursion zur Berechnung von p(n) liefert: p(n) = Σ (−1)^(k+1)[p(n − gₖ) + p(n − g'ₖ)], wobei gₖ = k(3k−1)/2 die verallgemeinerten Pentagonalzahlen sind. Er folgt aus der Entwicklung des unendlichen Euler-Produkts und erlaubt, p(n) in etwa O(n√n) Zeit zu berechnen, viel schneller als direkte Aufzählung. Es ist die in diesem Rechner verwendete Methode.

Was ist die erzeugende Funktion der Partitionen?

Es ist das unendliche Euler-Produkt: die Summe Σ p(n)xⁿ gleicht ∏ 1/(1−xᵏ) für k von 1 bis unendlich. Jeder Faktor 1/(1−xᵏ) stellt den Beitrag der Teile gleich k dar, und der Koeffizient von xⁿ im Produkt ist genau p(n). Diese elegante Identität ist der Ausgangspunkt fast aller Ergebnisse über Partitionen, einschließlich des Pentagonalsatzes und der Hardy-Ramanujan-Formel.

Was ist die Hardy-Ramanujan-Formel?

Es ist die asymptotische Näherung p(n) ≈ exp(π√(2n/3))/(4n√3), 1918 von Hardy und Ramanujan entdeckt. Sie zeigt, dass p(n) nahezu exponentiell wächst, genauer wie das Exponential der Wurzel von n. Die Näherung ist schon für mäßige Werte von n bemerkenswert genau und wurde 1937 von Rademacher zu einer Reihe verfeinert, die exakt gegen den ganzzahligen Wert von p(n) konvergiert.

Was sind Ramanujans Kongruenzen?

Es sind überraschende Teilbarkeitseigenschaften, die Ramanujan entdeckte: p(5n+4) ist stets durch 5 teilbar, p(7n+5) durch 7 und p(11n+6) durch 11. Zum Beispiel sind p(4)=5, p(9)=30, p(14)=135 alle Vielfache von 5. Diese Regelmäßigkeiten, scheinbar unerklärlich in einer so unregelmäßigen Folge, enthüllten tiefe, mit Modulformen verbundene Strukturen und regten jahrzehntelange Forschung in der Zahlentheorie an.

Was ist der Unterschied zwischen verschiedenen und ungeraden Teilen?

Ein berühmter Satz Eulers besagt, dass die Anzahl der Partitionen von n in lauter verschiedene Teile gleich der Anzahl der Partitionen in lauter ungerade Teile ist. Für n=5 zum Beispiel sind beide gleich 3. Es ist ein kontraintuitives, mit erzeugenden Funktionen elegant beweisbares Ergebnis und eines der ersten Beispiele einer Identität zwischen scheinbar unverbundenen Partitionsklassen, ein zentrales Thema der Theorie.

Was ist die Rademacher-Reihe?

1937 verwandelte Hans Rademacher die asymptotische Hardy-Ramanujan-Formel in eine unendliche Reihe, die exakt gegen den ganzzahligen Wert von p(n) konvergiert. Anders als die Näherung liefert das Aufsummieren genügend vieler Glieder der Rademacher-Reihe den exakten Wert von p(n), auf die nächste ganze Zahl gerundet. Es ist einer der seltenen Fälle, in denen eine arithmetische Funktion eine exakte analytische Formel besitzt, ein Ergebnis von außerordentlicher Schönheit.

Wofür wird die Partitionsfunktion verwendet?

Neben ihrer zentralen Rolle in Zahlentheorie und Kombinatorik erscheint die Partitionsfunktion in der statistischen Physik (Zählung von Energiezuständen in quantenmechanischen und bosonischen Systemen), in der Darstellungstheorie, in der Theorie der Modulformen und im Studium der q-Reihen. Ihr Bezug zur Physik Schwarzer Löcher und zur Stringtheorie macht sie zu einem überraschend vielseitigen Werkzeug der modernen Mathematik.

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