Funzioni divisori sigma_k(n)

Le funzioni divisori sigma_k(n) sono definite come la somma delle potenze k-esime dei divisori positivi di n: sigma_k(n) = sum_{d | n} d^k. Casi notevoli: sigma_0(n) = d(n) (anche tau(n)) conta il numero di divisori; sigma_1(n) = sigma(n) e la somma dei divisori; sigma_2(n) somma i quadrati.

Definizioni e casi base

Per n = 12, divisori = {1, 2, 3, 4, 6, 12}: d(12) = 6, sigma(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28, sigma_2(12) = 1+4+9+16+36+144 = 210. Per p primo: d(p) = 2 (1 e p), sigma(p) = p+1, sigma_k(p) = 1 + p^k.

Multiplicativita

sigma_k e MULTIPLICATIVA: per gcd(m, n) = 1, sigma_k(m * n) = sigma_k(m) * sigma_k(n). Conseguenza: basta calcolare su potenze di primi. Per p primo:

sigma_k(p^a) = (p^(k(a+1)) - 1) / (p^k - 1) per k != 0; sigma_0(p^a) = a + 1.

Esempio: sigma(2^3) = (16-1)/(2-1) = 15 (= 1+2+4+8). d(p^a) = a+1: d(8)=4, d(16)=5.

Numeri perfetti, abbondanti, deficienti

Confrontando sigma(n) con 2n:

• n PERFETTO: sigma(n) = 2n (somma divisori propri = n). Es: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14.
• n ABBONDANTE: sigma(n) > 2n. Es: 12 (sigma=28 > 24), 18, 20, 24...
• n DEFICIENTE: sigma(n) < 2n. Es: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 (la maggior parte).

Numeri perfetti pari (Euclide-Eulero)

Euclide (Elementi IX.36, 300 a.C.) dimostro: se 2^p - 1 e primo (Mersenne), allora 2^(p-1)(2^p - 1) e perfetto. Eulero (1747) dimostro il viceversa: tutti i numeri perfetti pari hanno questa forma. Primi 10 perfetti: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, ... Connessi a primi di Mersenne (2^p - 1 con p primo).

Numeri perfetti dispari

Aperto: esistono? Se esiste, deve soddisfare condizioni stringenti (Euler 1747): N = q^a * m^2 con q primo, q = a = 1 (mod 4). Cribbi computazionali: nessun perfetto dispari < 10^1500. Maggior parte dei numeri teorici scommette per la non-esistenza ma rimane indimostrato.

Crescita asintotica

• d(n) media: (1/N) sum_{n=1}^{N} d(n) ~ ln N + 2 gamma - 1 (Dirichlet 1849), gamma = costante Eulero-Mascheroni ~ 0.5772.
• d(n) massimo: per n altamente composito, d(n) ~ 2^((1+epsilon) ln n / ln ln n) (Wigert 1907). Esempio: 720 ha d=30, 7560 ha d=64.
• sigma(n) media: (1/N) sum sigma(n) ~ pi^2/12 * N (Dirichlet).
• sigma(n) massimo: ~ e^gamma * n * ln ln n (per n grandi, Robin 1984).

Connessione con zeta di Riemann

Le funzioni sigma_k(n) compaiono in serie di Dirichlet:

sum_{n=1}^{infty} sigma_k(n) / n^s = zeta(s) * zeta(s - k)

per Re(s) > max(1, k+1). Conseguenze: distribuzione e fluttuazioni di sigma_k(n) sono governate da proprietà degli zeri di zeta. Ipotesi di Riemann implica controllo molto fine.

Numeri amicabili

Coppie (m, n) tali che sigma(m) - m = n e sigma(n) - n = m. Esempi: (220, 284) (Pitagora), (1184, 1210) (Paganini 1866). Esiste un infinito numero di coppie amicabili? Aperta (congettura sì). Connessione con Erdos-Strauss congettura.

Numeri intoccabili

Numeri n che non sono mai sigma(m) - m per qualche m. Esempi: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, ... Erdos (1973) congettura ne esistano infiniti. Pomerance dimostra densità positiva di intoccabili. Bertelli (2007): densità >= 0.06.

Applicazioni

• Teoria dei numeri analitica: distribuzione divisori.
• Crittografia: aspetti relativi a fattorizzazione.
• Sistemi dinamici: numeri di rotazioni in mappe modulari.
• Combinatoria: enumerazione partizioni con vincoli divisori.
• Informatica teorica: complessità algoritmi divisione.
• Fisica statistica: funzione zeta in temperatura inversa.

Storia

Pitagorici (~500 a.C.): numeri perfetti, amicabili. Euclide (~300 a.C.): formula numeri perfetti pari. Mersenne (1644): primi 2^p-1. Eulero (1747): viceversa di Euclide. Dirichlet (1849): asintotica Sum d(n). Wigert (1907): massimi d(n). Hardy-Ramanujan (1917): omega(n) ~ ln ln n. Erdos-Kac (1939): teorema centrale per omega(n).

Modalita del calcolatore

Cinque modalita: tutte le funzioni d, sigma, sigma_2 e divisori; classificazione perfetti/abbondanti/deficienti; sigma_k generico per k=-2..10; valori asintotici medi; conteggio divisori d(n) con formula da fattorizzazione.

Il problema dei divisori di Dirichlet

Il numero di divisori d(n) oscilla in modo irregolare, ma la sua media segue una legge precisa. Dirichlet dimostro nel 1849 che la somma d(1) + d(2) + ... + d(n) vale n ln n + (2 gamma - 1) n + Delta(n), dove gamma e la costante di Eulero-Mascheroni e Delta(n) e un termine d'errore. La domanda su quanto piccolo possa essere Delta(n) e il celebre problema dei divisori di Dirichlet, ancora aperto dopo oltre un secolo e mezzo.

Dirichlet stesso dimostro Delta(n) = O(radice n), con il metodo dell'iperbole che conta i punti reticolari sotto xy = n. Da allora l'esponente e stato progressivamente abbassato: si sa che Delta(n) e O(n^theta) con theta oggi intorno a 0,314, e si congettura che il valore ottimale sia theta = 1/4, come suggerisce il termine di errore quadratico medio. E un problema strettamente imparentato con quello dei punti reticolari nel cerchio di Gauss, entrambi al confine fra teoria analitica dei numeri e geometria discreta.

Sequenze aliquote e la congettura di Catalan-Dickson

Iterando la funzione somma dei divisori propri s(n) = sigma(n) - n si genera la sequenza aliquota di n: si parte da n, si calcola s(n), poi s(s(n)) e cosi via. I numeri perfetti sono punti fissi (s(n) = n), le coppie amicabili cicli di lunghezza due, i numeri socievoli cicli piu lunghi. Ma il comportamento generale di queste sequenze e sorprendentemente misterioso.

La congettura di Catalan-Dickson afferma che ogni sequenza aliquota o termina raggiungendo 1 (dopo aver toccato un primo) oppure entra in un ciclo periodico, restando comunque limitata. Nessuno l'ha dimostrata ne confutata: esistono numeri, i "cinque di Lehmer" a partire da 276, le cui sequenze aliquote sono state calcolate per migliaia di termini senza che si sappia se terminano o crescono all'infinito. E uno dei problemi elementari da enunciare ma resistenti piu affascinanti della teoria dei numeri.

Aggiornato a luglio 2026