Student-t-Test-Rechner (Eine Stichprobe, Welch, Paired)

Student-t-Test-Rechner: eine Stichprobe vs hypothetischer Mittelwert, zwei Stichproben Welch, gepaart, kritische Werte, Konfidenzintervall, zweiseitiger p-Wert.

Berechnungsparameter
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Student-t-Test: Definition

Parametrischer Test (Gosset 1908) zum Vergleich von Mittelwerten in kleinen Stichproben mit unbekannter Populationsvarianz, geschätzt aus Daten. Bei Normalverteilung folgt t-Statistik der Student-t-Verteilung mit df Freiheitsgraden.

t = (Statistik - H0_Parameter) / SE.

Testtypen

  • Eine Stichprobe: t = (xbar - mu_0)/(s/sqrt(n)), df = n-1.
  • Zwei Stichproben Welch: SE = sqrt(s1^2/n1 + s2^2/n2), Welch-Satterthwaite df.
  • Pooled Student: nimmt gleiche Varianzen an. df = n1+n2-2.
  • Gepaart: t = d_bar/(s_d/sqrt(n)), df = n-1.

Beispiel eine Stichprobe

n=25, xbar=102, s=10, mu_0=100. t=1.0, df=24, p ~ 0.327. Nicht signifikant.

t-Verteilung

  • Symmetrisch.
  • Schwerere Schwänze als Normal für kleine df.
  • df=1 Cauchy.
  • df -> unendlich Normal.
  • Varianz df/(df-2) für df > 2.

p-Wert

Zweiseitig: 2*P(T>|t|). Via regularisierte unvollständige Beta.

Kritische Werte alpha=0.05

  • df=10: 2.228.
  • df=20: 2.086.
  • df=30: 2.042.
  • df=unendlich: 1.96.

Annahmen

  1. Unabhängigkeit.
  2. Normalverteilung oder grosses n (ZGS).
  3. Intervallskala.
  4. Gleiche Varianz für Pooled.

Fehler Typ I/II und Power

  • Typ I (alpha) 0.05.
  • Typ II (beta).
  • Power (1-beta) 0.80.
  • Effektstärke Cohen d.

Konfidenzintervall

KI = xbar +/- t_{alpha/2, df} * s/sqrt(n). Beispiel n=25, xbar=102, s=10: [97.87, 106.13].

Nichtparametrische Alternativen

  • Wilcoxon (eine Stichprobe/gepaart).
  • Mann-Whitney U.
  • Bootstrap.
  • Permutationstest.

Mehrfache Tests

  • Bonferroni alpha/k.
  • Holm-Bonferroni.
  • FDR Benjamini-Hochberg.

Geschichte

William Sealy Gosset (1876-1937), Guinness. Pseudonym "Student" 1908 Biometrika. Fisher (1925). Welch (1947) ungleiche Varianzen. Satterthwaite (1946) df.

Rechnermodi

Fünf: eine Stichprobe, zwei Welch, gepaart, kritischer Wert, KI. p-Wert via unvollständige Beta.

Effektstarke, Konfidenzintervalle und statistische Power

Ein t-Test beantwortet, ob ein Unterschied vom Rauschen unterscheidbar ist, aber nicht, wie gross oder wie wichtig dieser Unterschied ist. Fur Letzteres braucht man die Effektstarke, am haufigsten Cohens d, das die Lucke zwischen Mittelwerten in Einheiten der gepoolten Standardabweichung ausdruckt. Ein d von 0,2 gilt konventionell als klein, 0,5 als mittel und 0,8 als gross, und es zu berichten verhindert den haufigen Fehler, einen winzigen, aber statistisch signifikanten Effekt fur bedeutsam zu halten. Ein Konfidenzintervall tragt dieselbe Information in den ursprunglichen Einheiten: das Intervall des Rechners gibt den plausiblen Bereich fur den wahren Mittelwert, und seine Breite vermittelt die Prazision weit besser als ein blosser p-Wert.

Das Spiegelbild der Signifikanz ist die statistische Power, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test einen realen Effekt gegebener Grosse entdeckt. Die Power wachst mit der Stichprobengrosse, der Effektstarke und dem gewahlten Signifikanzniveau und fallt, wenn die Variabilitat steigt. Vor der Datenerhebung fuhren Forscher eine Power-Analyse durch, um die Stichprobengrosse zu finden, die eine akzeptable Chance, meist 80 Prozent, gibt, den interessierenden Effekt zu entdecken. Eine unterpowerte Studie riskiert, einen echten Effekt zu verpassen, und neigt paradoxerweise dazu, die gefundenen Effekte zu ubertreiben. Zusammen verwandeln Effektstarke, Konfidenzintervalle und Power ein blosses Annehmen-oder-Ablehnen-Urteil in eine quantitative Aussage uber Grosse und Zuverlassigkeit.

Einseitig gegen zweiseitig, und den p-Wert lesen

Jeder t-Test beruht auf einer Wahl der Alternativhypothese. Ein zweiseitiger Test fragt, ob sich die Mittelwerte in beide Richtungen unterscheiden, und teilt das Signifikanzniveau auf beide Rander auf; das ist der Standard und der p-Wert, den der Rechner ausgibt. Ein einseitiger Test stellt eine gerichtete Frage, ob ein Mittelwert spezifisch grosser oder spezifisch kleiner ist, und legt das ganze Signifikanzniveau in einen einzigen Rand. Da das den Ablehnungsbereich konzentriert, ist ein einseitiger Test machtiger, wenn die Richtung wirklich im Voraus bekannt ist, aber ihn nach dem Betrachten der Daten zu wahlen erhoht die Falsch-positiv-Rate und gilt als Fehlverhalten. Fur eine symmetrische t-Verteilung ist der einseitige p-Wert einfach die Halfte des zweiseitigen.

Den p-Wert richtig zu deuten ist ebenso wichtig wie ihn zu berechnen. Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, eine Teststatistik zu beobachten, die mindestens so extrem ist wie die erhaltene, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist. Er ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese wahr ist, noch die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis durch Zufall entstand, und eine Schwelle wie 0,05 ist eine Konvention, kein Naturgesetz. Ein Ergebnis knapp unter der Schwelle unterscheidet sich nicht qualitativ von einem knapp daruber, weshalb die moderne Praxis den exakten p-Wert neben einer Effektstarke und einem Konfidenzintervall berichtet statt eines blossen Signifikant-oder-nicht-Etiketts.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist der t-Test nach Student?

Es ist ein parametrischer statistischer Test zum Vergleich von Mittelwerten in kleinen Stichproben, wenn die Populationsvarianz unbekannt und aus den Daten geschatzt ist. Unter der Normalitatsannahme folgt die Statistik t = (Schatzung - H0-Wert)/Standardfehler der Student-t-Verteilung mit df Freiheitsgraden. Er wurde 1908 von William Gosset ersonnen.

Welche Arten von t-Tests gibt es?

Die wichtigsten sind: der Einstichproben-Test, der einen Mittelwert mit einem Referenzwert vergleicht; der Zweistichproben-Test (Welch), der die Mittelwerte zweier unabhangiger Gruppen vergleicht und robust gegen ungleiche Varianzen ist; und der gepaarte Test, der Vorher-Nachher-Messungen an denselben Subjekten vergleicht. Der Rechner bietet auch ein kritisches t und ein Konfidenzintervall.

Was sind Freiheitsgrade?

Es ist die Zahl der bei der Varianzschatzung frei variierbaren Werte, und sie legen die Form der t-Verteilung fest. Fur eine Stichprobe betragen sie n-1; fur den Welch-Test wird die Welch-Satterthwaite-Naherung verwendet. Mit wenigen Freiheitsgraden hat die t schwerere Rander als die Normalverteilung; fur grosses df strebt sie gegen die Normalverteilung.

Was ist der p-Wert und wie wird er gedeutet?

Es ist die Wahrscheinlichkeit, eine Statistik zu beobachten, die mindestens so extrem ist wie die erhaltene, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist. Er ist NICHT die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese wahr ist. Ist der p-Wert kleiner als die Schwelle alpha (oft 0,05), lehnt man H0 ab, aber die Schwelle ist eine Konvention und sollte von einer Effektstarke begleitet werden.

Was ist der Unterschied zwischen einseitigem und zweiseitigem Test?

Ein zweiseitiger Test pruft, ob sich die Mittelwerte in beide Richtungen unterscheiden, und teilt alpha auf die beiden Rander auf: das ist der Standard. Ein einseitiger Test pruft eine bestimmte Richtung und konzentriert alpha in einem einzigen Rand, ist machtiger, aber nur wenn die Richtung im Voraus bekannt ist. Fur die symmetrische t ist der einseitige p die Halfte des zweiseitigen.

Was ist die Effektstarke?

Es ist ein Mass fur die Grosse eines Unterschieds, unabhangig von der Stichprobengrosse. Die haufigste ist Cohens d, das die Lucke zwischen Mittelwerten in Standardabweichungseinheiten ausdruckt: 0,2 klein, 0,5 mittel, 0,8 gross. Sie dient dazu, einen signifikanten, aber winzigen Effekt von einem wirklich wichtigen zu unterscheiden.

Was ist die statistische Power?

Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test einen realen Effekt gegebener Grosse entdeckt, also 1 minus die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art. Sie wachst mit der Stichproben- und der Effektgrosse. Eine Power-Analyse vor dem Experiment bestimmt die notige Stichprobengrosse, um typischerweise eine 80-prozentige Chance zu haben, den Effekt zu entdecken.

Welche Annahmen erfordert der t-Test?

Er erfordert unabhangige Beobachtungen, annahernd normale Daten (oder Stichproben, die gross genug fur den zentralen Grenzwertsatz sind) und, fur die gepoolte Version, ahnliche Varianzen. Der Welch-Test lockert Letzteres. Sind die Annahmen verletzt, nutzt man nichtparametrische Alternativen wie den Mann-Whitney- oder Wilcoxon-Test.

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