Calculatrice Test t Student (Un Echantillon, Welch, Apparies)

Calculatrice test t de Student: un echantillon vs moyenne hypothetique, deux echantillons Welch, apparies, valeurs critiques, intervalles confiance, p-valeur.

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Test t de Student: définition

Test paramétrique (Gosset 1908) pour comparer moyennes en petits echantillons avec variance population inconnue estimee. Sous normalite, t suit distribution t de Student avec df degrés liberte.

t = (statistique - parametre_H0) / SE.

Types de test

  • Un echantillon: t = (xbar - mu_0)/(s/sqrt(n)), df = n-1.
  • Deux echantillons Welch: SE = sqrt(s1^2/n1 + s2^2/n2), Welch-Satterthwaite df.
  • Pooled Student: assume variances egales. df = n1+n2-2.
  • Apparies: t = d_bar/(s_d/sqrt(n)), df = n-1.

Exemple un echantillon

n=25, xbar=102, s=10, mu_0=100. t=1.0, df=24, p ~ 0.327. Non significatif.

Distribution t

  • Symetrique.
  • Queues plus lourdes que normale pour df petit.
  • df=1 Cauchy.
  • df -> infini normale.
  • Variance df/(df-2) pour df > 2.

p-valeur

Bilaterale: 2*P(T>|t|). Via beta incomplete regularisee.

Valeurs critiques alpha=0.05

  • df=10: 2.228.
  • df=20: 2.086.
  • df=30: 2.042.
  • df=infini: 1.96.

Hypotheses

  1. Independance.
  2. Normalite ou n grand (TCL).
  3. Échelle intervalle.
  4. Variance egale pour pooled.

Erreurs type I/II et puissance

  • Type I (alpha) 0.05.
  • Type II (beta).
  • Puissance (1-beta) 0.80.
  • Effect size Cohen d.

Intervalle confiance

IC = xbar +/- t_{alpha/2, df} * s/sqrt(n). Exemple n=25, xbar=102, s=10: [97.87, 106.13].

Alternatives non parametriques

  • Wilcoxon (un echantillon/apparies).
  • Mann-Whitney U.
  • Bootstrap.
  • Test permutation.

Tests multiples

  • Bonferroni alpha/k.
  • Holm-Bonferroni.
  • FDR Benjamini-Hochberg.

Histoire

William Sealy Gosset (1876-1937), Guinness. Pseudonyme "Student" 1908 Biometrika. Fisher (1925). Welch (1947) variances differentes. Satterthwaite (1946) df.

Modes calculatrice

Cinq: un echantillon, deux echantillons Welch, apparies, valeur critique, IC. p-valeur via beta incomplete.

Taille d'effet, intervalles de confiance et puissance statistique

Un test t repond a la question de savoir si une difference se distingue du bruit, mais non a quel point elle est grande ou importante. Pour cela il faut la taille d'effet, le plus souvent le d de Cohen, qui exprime l'ecart entre moyennes en unites de l'ecart-type combine. Un d de 0,2 est conventionnellement petit, 0,5 moyen et 0,8 grand, et le rapporter evite l'erreur courante de confondre un effet minuscule mais statistiquement significatif avec un effet pertinent. Un intervalle de confiance porte la meme information dans les unites d'origine : l'intervalle de la calculatrice donne la plage plausible pour la vraie moyenne, et sa largeur transmet la precision bien mieux qu'une simple valeur p.

L'image miroir de la significativite est la puissance statistique, la probabilite qu'un test detecte un effet reel d'une taille donnee. La puissance croit avec la taille de l'echantillon, la taille d'effet et le niveau de significativite choisi, et decroit quand la variabilite augmente. Avant de recueillir des donnees, les chercheurs realisent une analyse de puissance pour trouver la taille d'echantillon qui donne une chance acceptable, generalement 80 pour cent, de detecter l'effet qui les interesse. Une etude sous-puissante risque de manquer un effet genuine et, paradoxalement, tend a exagerer les effets qu'elle trouve. Ensemble, taille d'effet, intervalles de confiance et puissance transforment un verdict d'acceptation ou de rejet en un enonce quantitatif sur l'ampleur et la fiabilite.

Une queue contre deux queues, et lire la valeur p

Tout test t repose sur un choix d'hypothese alternative. Un test bilateral demande si les moyennes different dans l'une ou l'autre direction et repartit le niveau de significativite entre les deux queues ; c'est le choix par defaut, et la valeur p que rapporte la calculatrice. Un test unilateral pose une question directionnelle, si une moyenne est specifiquement plus grande ou specifiquement plus petite, et place tout le niveau de significativite dans une seule queue. Comme cela concentre la region de rejet, un test unilateral est plus puissant quand la direction est reellement connue a l'avance, mais le choisir apres avoir vu les donnees gonfle le taux de faux positifs et est considere comme une faute. Pour une distribution t symetrique la valeur p unilaterale est simplement la moitie de la bilaterale.

Interpreter correctement la valeur p est aussi important que la calculer. La valeur p est la probabilite d'observer une statistique de test au moins aussi extreme que celle obtenue, en supposant l'hypothese nulle vraie. Ce n'est pas la probabilite que l'hypothese nulle soit vraie, ni la probabilite que le resultat soit du au hasard, et un seuil tel que 0,05 est une convention, non une loi de la nature. Un resultat juste sous le seuil n'est pas qualitativement different d'un resultat juste au-dessus, c'est pourquoi la pratique moderne rapporte la valeur p exacte a cote d'une taille d'effet et d'un intervalle de confiance plutot qu'une simple etiquette significatif ou non.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le test t de Student ?

C'est un test statistique parametrique pour comparer des moyennes dans de petits echantillons quand la variance de la population est inconnue et estimee a partir des donnees. Sous l'hypothese de normalite, la statistique t = (estimation - valeur H0)/erreur standard suit la distribution t de Student a df degres de liberte. Il fut imagine par William Gosset en 1908.

Quels types de test t existent ?

Les principaux sont : a un echantillon, qui compare une moyenne a une valeur de reference ; a deux echantillons (Welch), qui compare les moyennes de deux groupes independants et est robuste aux variances inegales ; et apparie, qui compare des mesures avant et apres sur les memes sujets. La calculatrice offre aussi un t critique et un intervalle de confiance.

Que sont les degres de liberte ?

C'est le nombre de valeurs libres de varier dans l'estimation de la variance, et ils fixent la forme de la distribution t. Pour un echantillon ils valent n-1 ; pour le test de Welch on utilise l'approximation de Welch-Satterthwaite. Avec peu de degres de liberte la t a des queues plus epaisses que la normale ; pour un grand df elle tend vers la normale.

Qu'est-ce que la valeur p et comment l'interpreter ?

C'est la probabilite d'observer une statistique au moins aussi extreme que celle obtenue, en supposant l'hypothese nulle vraie. Ce n'est PAS la probabilite que l'hypothese nulle soit vraie. Si la valeur p est inferieure au seuil alpha (souvent 0,05) on rejette H0, mais le seuil est une convention, non une loi, et doit s'accompagner d'une taille d'effet.

Quelle est la difference entre test unilateral et bilateral ?

Le test bilateral verifie si les moyennes different dans l'une ou l'autre direction et repartit alpha entre les deux queues : c'est le defaut. Le test unilateral verifie une direction specifique et concentre alpha dans une seule queue, etant plus puissant, mais seulement si la direction est connue a l'avance. Pour la t symetrique le p unilateral est la moitie du bilateral.

Qu'est-ce que la taille d'effet ?

C'est une mesure de l'ampleur d'une difference, independante de la taille de l'echantillon. La plus courante est le d de Cohen, qui exprime l'ecart entre moyennes en unites d'ecart-type : 0,2 petit, 0,5 moyen, 0,8 grand. Elle sert a distinguer un effet significatif mais minuscule d'un effet vraiment important.

Qu'est-ce que la puissance statistique ?

C'est la probabilite qu'un test detecte un effet reel d'une taille donnee, soit 1 moins la probabilite d'une erreur de type II. Elle croit avec la taille de l'echantillon et de l'effet. Une analyse de puissance avant l'experience determine la taille d'echantillon necessaire pour avoir, typiquement, 80 pour cent de chance de detecter l'effet.

Quelles hypotheses exige le test t ?

Il exige des observations independantes, des donnees approximativement normales (ou des echantillons assez grands pour le theoreme central limite) et, pour la version poolee, des variances similaires. Le test de Welch relache cette derniere. Si les hypotheses sont violees, on utilise des alternatives non parametriques comme le test de Mann-Whitney ou de Wilcoxon.

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