Die Kugel in der Geometrie

Eine Kugel mit Radius r ist die Menge aller Punkte im dreidimensionalen Raum, die vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Sie ist der symmetrischste Körper des euklidischen Raums: unendlich viele Symmetrieebenen gehen durch den Mittelpunkt, und unter allen Körpern gleichen Volumens hat die Kugel die kleinste Oberfläche (isoperimetrische Eigenschaft). Der Großkreis ist der Schnitt der Kugel mit einer Ebene durch den Mittelpunkt und hat Radius r. Kartesische Gleichung mit Ursprung als Mittelpunkt: x² + y² + z² = r².

Oberfläche

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist S = 4 · π · r², also genau viermal die Fläche des Großkreises (π · r²). Archimedes bewies dies um 250 v. Chr. mithilfe des umschriebenen Zylinders der Höhe 2r: Die Mantelfläche des Zylinders (2π · r · 2r = 4π · r²) stimmt mit der Kugeloberfläche überein. Archimedes wünschte sich eine Darstellung dieser Kugel-Zylinder-Figur auf seinem Grab — laut Cicero wurde dies erfüllt.

Volumen

Das Volumen ist V = (4/3) · π · r³. Beweis durch Integration entlang der Achse: V = ∫π·(r²−z²)dz von −r bis r. Das Volumenverhältnis mit dem umschriebenen Zylinder beträgt 2 : 3 (weiterer Satz von Archimedes). Beispiel: r = 10 → V ≈ 4188,79 und S ≈ 1256,64.

Durchmesser und Großkreis

Durchmesser d = 2r. Umfang des Großkreises C = 2π·r = π·d. Fläche des Großkreises π·r² = S/4. Jede Ebenenschnittfläche im Abstand |h| < r vom Mittelpunkt ist ein Kreis mit Radius √(r²−h²). Der Großkreis entspricht h = 0.

Kugelkalotte

Eine Kugelkalotte ist der Teil einer Kugel, der durch eine Ebene abgetrennt wird. Höhe h (0 ≤ h ≤ 2r): Mantelfläche A = 2 · π · r · h (bemerkenswert: proportional nur zur Höhe); Volumen V = π · h² · (3r − h) / 3. Basisradius: a = √(h · (2r − h)). Für h = r entsteht die Halbkugel mit A = 2π·r² und V = (2/3)π·r³.

Kugelzone und Kugelzweieck

Eine Kugelzone ist der Oberflächenteil zwischen zwei parallelen Ebenen im Abstand h: Fläche 2·π·r·h, unabhängig von der Lage der Ebenen. Ein Kugelzweieck (Lunula) mit Öffnungswinkel α (rad) hat Fläche 2r²·α und Volumen (2/3)r³·α.

Masse und Trägheit

Vollkugel mit Dichte ρ: Masse m = ρ·V. Trägheitsmoment um eine zentrale Achse: I = (2/5)·m·r² (Vollkugel), I = (2/3)·m·r² (dünne Hohlkugel). Wird in der Rotationsmechanik verwendet.

Anwendungen

Planeten (hydrostatisches Gleichgewicht), Tropfen (Oberflächenspannung), Bälle, Kugellager, geodätische Kuppeln. Die Erde ist ein abgeplattetes Rotationsellipsoid sehr nahe an einer Kugel (Abplattung ≈ 1/298).

Bedienung

Modus: aus Radius, aus Durchmesser, aus Volumen, Kugelkalotte. Konsistente Einheiten (m, m², m³). IEEE-754-Doppelpräzision.

Der Satz des Archimedes und die Kugelgeometrie

Die Kugelformeln — Oberfläche S = 4πr² und Volumen V = (4/3)πr³ — wurden von Archimedes von Syrakus (3. Jahrhundert v. Chr.) in seiner Schrift Über Kugel und Zylinder bewiesen. Archimedes zeigte, dass das Volumen einer Kugel genau zwei Drittel des umschriebenen Zylinders (gleicher Radius, Höhe 2r) beträgt und dass die Kugeloberfläche der Mantelfläche dieses Zylinders gleicht. Er war so stolz, dass er einen Zylinder mit einbeschriebener Kugel auf seinem Grab wünschte; Cicero fand es 75 v. Chr. in Syrakus. Das konstante Verhältnis 2:3 zwischen Kugel und Zylinder ist unabhängig vom Radius.

Einheiten, Kugelkalotte und praktische Fälle

Die Oberfläche wird in m² und das Volumen in m³ gemessen; in der Praxis nutzt man cm², Liter (1 L = 1 dm³) und Hektoliter für Tanks. Die Kugelkalotte — der von einer Ebene in Höhe h abgeschnittene Teil — hat die Mantelfläche A = 2πrh und das Volumen V = πh²(3r − h)/3, wesentliche Formeln für die Flüssigkeit in einem Kugeltank oder das Volumen einer Kuppel. Der Basisradius der Kalotte ist √(h(2r − h)). Beispiele: ein 5-mm-Kugellager hat 314 mm² Oberfläche und 524 mm³ Volumen; die Erde, mit mittlerem Radius 6371 km, hat 5,1×10⁸ km² Oberfläche. Durch Umkehren der Volumenformel erhält man den Radius: r = ∛(3V/4π).

Aktualisiert im Juli 2026