Calculadora Esfera: superficie 4πr², volumen, casquete esférico

Calcula la superficie S = 4πr², el volumen V = (4/3)πr³, la circunferencia del círculo máximo y el casquete esférico. Cuatro modos con fórmulas exactas.

Parámetros de cálculo
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La esfera en geometría

Una esfera de radio r es el lugar de los puntos del espacio 3-D equidistantes de su centro. Es el sólido más simétrico: infinitos planos de simetría pasan por el centro y, entre todos los sólidos de igual volumen, la esfera tiene la superficie mínima (propiedad isoperimétrica). El círculo máximo es la intersección con un plano que pasa por el centro, y su radio coincide con el de la esfera. Ecuación cartesiana: x² + y² + z² = r².

Superficie

La superficie de una esfera de radio r es S = 4 · π · r², cuatro veces el área del círculo máximo. Arquímedes lo demostró hacia 250 a.C. relacionando esfera y cilindro circunscrito de altura 2r: la superficie lateral del cilindro (2π·r·2r = 4π·r²) coincide con la de la esfera.

Volumen

El volumen es V = (4/3) · π · r³. Se obtiene por integración axial. El cociente volumen_esfera/volumen_cilindro_circunscrito vale 2/3 (otro teorema de Arquímedes). Ejemplo: r = 10 → V ≈ 4188,79 y S ≈ 1256,64.

Diámetro y círculo máximo

Diámetro d = 2r; circunferencia del círculo máximo C = 2π·r; área del círculo máximo π·r² = S/4. Toda sección a distancia |h| < r del centro es un círculo de radio √(r²−h²).

Casquete esférico

Con altura h (0 ≤ h ≤ 2r): área lateral A = 2·π·r·h; volumen V = π·h²(3r − h)/3. Radio de la base: a = √(h·(2r−h)). Para h = r se obtiene el hemisferio.

Zona esférica y huso

Zona entre dos planos paralelos separados h: área 2·π·r·h (independiente de la posición). Huso de ángulo α (rad): superficie 2r²·α, volumen (2/3)r³·α.

Masa e inercia

Densidad uniforme ρ: m = ρ·V. Momento de inercia axial: I = (2/5)·m·r² (sólida), I = (2/3)·m·r² (cáscara fina). Usado en mecánica rotacional.

Aplicaciones

Planetas (equilibrio hidrostático), gotas (tensión superficial), balones, rodamientos, cúpulas geodésicas. La Tierra es un esferoide achatado (aplastamiento ≈ 1/298).

Cómo usar

Modo: desde radio, desde diámetro, desde volumen, casquete esférico. Unidades coherentes (m, m², m³). Precisión doble.

El teorema de Arquímedes y la geometría de la esfera

Las fórmulas de la esfera — superficie S = 4πr² y volumen V = (4/3)πr³ — fueron demostradas por Arquímedes de Siracusa (siglo III a.C.) en su tratado Sobre la esfera y el cilindro. Arquímedes probó que el volumen de una esfera es exactamente dos tercios del cilindro circunscrito (mismo radio y altura 2r) y que la superficie esférica es igual a la superficie lateral de ese cilindro. Estaba tan orgulloso que pidió que grabaran en su tumba un cilindro con la esfera inscrita; Cicerón la halló en Siracusa en el 75 a.C. La razón constante 2:3 entre esfera y cilindro es independiente del radio.

Unidades, casquete esférico y casos prácticos

La superficie se mide en m² y el volumen en m³; en la práctica se usan cm², litros (1 L = 1 dm³) y hectolitros para depósitos. El casquete esférico — la porción cortada por un plano a altura h — tiene área lateral A = 2πrh y volumen V = πh²(3r − h)/3, fórmulas clave para el líquido de un tanque esférico o el volumen de una cúpula. El radio de la base del casquete es √(h(2r − h)). Ejemplos: una bola de rodamiento de 5 mm tiene 314 mm² de superficie y 524 mm³ de volumen; la Tierra, con radio medio 6371 km, tiene 5,1×10⁸ km² de superficie. Invirtiendo la fórmula del volumen se obtiene el radio: r = ∛(3V/4π).

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la superficie de una esfera?

La superficie de una esfera es S = 4πr², donde r es el radio. Equivale a cuatro veces el área del círculo máximo (πr²). Para una esfera de radio 1 m la superficie es unos 12,57 m². La fórmula fue demostrada por Arquímedes y no depende de la orientación de la esfera.

¿Cómo se calcula el volumen de una esfera?

El volumen es V = (4/3)πr³. Crece con el cubo del radio: al duplicar r el volumen se hace ocho veces mayor. Una esfera de radio 1 m tiene un volumen de unos 4,19 m³. Arquímedes probó que es dos tercios del cilindro circunscrito de igual radio y altura 2r.

¿Diferencia entre circunferencia y círculo máximo?

El círculo máximo es la sección de la esfera que pasa por el centro: su radio es igual al de la esfera. Su circunferencia es C = 2πr, la mayor distancia posible por la superficie entre puntos opuestos. El ecuador y los meridianos terrestres son círculos máximos.

¿Qué es el casquete esférico y cómo se calcula?

El casquete esférico es la porción de esfera cortada por un plano. Dada la altura h, su área lateral es A = 2πrh y su volumen V = πh²(3r − h)/3. Sirve para calcular el líquido de un tanque esférico o el volumen de una cúpula. El radio de la base es √(h(2r − h)).

¿Cómo se obtiene el radio a partir del volumen?

Invirtiendo V = (4/3)πr³ se obtiene r = ∛(3V/4π), la raíz cúbica de tres veces el volumen dividido entre cuatro pi. Si conoces la capacidad requerida (por ejemplo 1000 litros = 1 m³), calculas el radio necesario: unos 0,62 m en ese caso.

¿Por qué el volumen de la esfera es 2/3 del cilindro?

Porque Arquímedes demostró que, para un cilindro que circunscribe exactamente la esfera (radio r, altura 2r), la razón de volúmenes es constante 2:3, independiente del radio. El cilindro tiene volumen 2πr³ y la esfera (4/3)πr³, así que la razón es 2/3. Es uno de los resultados más célebres de la matemática antigua.

¿En qué unidades se expresan superficie y volumen?

La superficie se mide en metros cuadrados (m²) y el volumen en metros cúbicos (m³). En la práctica se usan cm², litros (1 L = 1 dm³) y hectolitros para depósitos. Cuidado con las conversiones: 1 m³ = 1000 L = 1 000 000 cm³, y 1 m² = 10 000 cm².

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