La sfera in geometria

Una sfera di raggio r è il luogo dei punti dello spazio tridimensionale equidistanti dal suo centro. È l'oggetto più simmetrico dello spazio euclideo: ha infiniti piani di simmetria passanti per il centro e, fra tutti i solidi di uguale volume, è quello con superficie minima (proprietà isoperimetrica). Il cerchio massimo è la sezione della sfera con un piano passante per il centro; ogni sfera di raggio r ha cerchi massimi di raggio r. In coordinate cartesiane con centro nell'origine: x² + y² + z² = r².

Superficie della sfera

La superficie di una sfera di raggio r è S = 4 · π · r². Curiosamente, è esattamente quattro volte l'area del cerchio massimo (π · r²). Archimede dimostrò questo risultato intorno al 250 a.C. con un metodo ingegnoso, facendo corrispondere la sfera a un cilindro circoscritto di altezza 2r (teorema di Archimede): la superficie laterale del cilindro (2π·r · 2r = 4π·r²) coincide con la superficie della sfera. Archimede chiese che la sua tomba fosse decorata con questa configurazione sfera-cilindro, richiesta esaudita secondo Cicerone.

Volume della sfera

Il volume racchiuso da una sfera di raggio r è V = (4/3) · π · r³. Si dimostra per integrazione: V = ∫_{-r}^{r} π · (r² − z²) dz = π · [r² · z − z³/3]_{-r}^{r} = (4/3)·π·r³. Il rapporto con il cilindro circoscritto vale 2:3 (altro teorema di Archimede): V_sfera / V_cilindro = 2/3. Esempio: sfera di raggio r = 10 ha V = (4/3)·π·1000 ≈ 4188,79 unità³ e S = 4π·100 ≈ 1256,64 unità².

Diametro, circonferenza e cerchio massimo

Il diametro della sfera è d = 2r. La circonferenza del cerchio massimo è C = 2 · π · r = π · d. L'area del cerchio massimo è π · r² = S/4, cioè esattamente un quarto della superficie totale. Per ogni sezione piana a distanza h dal centro (con |h| < r), il cerchio-sezione ha raggio √(r² − h²). Il cerchio massimo è quello con h = 0.

Calotta sferica

Una calotta sferica è la porzione di sfera tagliata da un piano. Se la calotta ha altezza h (distanza dal piano al punto più lontano della sfera, 0 ≤ h ≤ 2r), valgono: area laterale A_cap = 2 · π · r · h (notevole: proporzionale solo all'altezza, non al raggio della base della calotta); volume V_cap = (π · h² · (3r − h)) / 3. Il raggio della base della calotta è a = √(h · (2r − h)). Per h = r la calotta è un emisfero con A = 2π·r² e V = (2/3)π·r³. Per h = 2r si recupera l'intera sfera.

Zona sferica e fuso sferico

Una zona sferica è la porzione di superficie compresa fra due piani paralleli. Se i piani distano h fra loro, la zona ha area 2·π·r·h, indipendentemente dalla loro posizione (sorprendente conseguenza del teorema di Archimede sull'area della calotta). Un fuso sferico è la porzione di sfera compresa fra due semipiani passanti per l'asse: se l'angolo fra i due semipiani è α (in radianti), l'area del fuso è 2·r²·α e il volume è (2/3)·r³·α.

Densità e massa

Se la sfera è piena di materiale a densità uniforme ρ, la massa è m = ρ · V = (4/3) · π · r³ · ρ. Il momento di inerzia di una sfera piena rispetto a un asse passante per il centro vale I = (2/5) · m · r², mentre per una sfera cava sottile I = (2/3) · m · r². Queste formule sono usate in meccanica rotazionale (rotazione della Terra, sfere di biliardo, pianeti).

Esempi applicativi

La sfera è onnipresente: pianeti e stelle assumono forma sferica per l'equilibrio idrostatico (gravità contro pressione); gocce d'acqua minimizzano la superficie a parità di volume; palloni da calcio e basket sono ricoperti di pezzi che avvicinano una sfera; cuscinetti a sfere riducono l'attrito per rotolamento; cupole geodetiche approssimano sfere con triangoli. In chimica, le molecole a guscio elettronico tendono a geometrie sferoidali; in astronomia la Terra è un ellissoide oblato molto vicino a una sfera (schiacciamento 1/298).

Come usare il calcolatore

Scegli la modalità: da raggio (r → V, S, C, d); da diametro (d → r, V, S, C); da volume (V → r, S, C, d); calotta sferica (r, h → A_cap, V_cap, raggio base). I risultati sono calcolati in unità SI coerenti (metri, metri², metri³) ma funzionano con qualunque unità lineare. La precisione è doppia (IEEE-754).

Il teorema di Archimede e la geometria della sfera

Le formule della sfera — superficie S = 4πr² e volume V = (4/3)πr³ — furono dimostrate da Archimede di Siracusa (III secolo a.C.) nel trattato Sulla sfera e il cilindro. Archimede provò che il volume di una sfera è esattamente i due terzi del cilindro circoscritto (stesso raggio e altezza 2r) e che la superficie sferica eguaglia la superficie laterale di quello stesso cilindro. Ne era così fiero che chiese fosse inciso sulla sua tomba un cilindro con la sfera inscritta: Cicerone la ritrovò a Siracusa nel 75 a.C. Il rapporto costante 2:3 tra sfera e cilindro è indipendente dal raggio ed è uno dei primi esempi di calcolo integrale ante litteram. Oggi le proprietà delle superfici sferiche sono studiate anche all'INAF per la modellazione di pianeti e stelle, approssimati come sfere per il calcolo di massa, densità e albedo.

Unità, calotta sferica e casi pratici

La superficie si misura in m² e il volume in m³; per applicazioni pratiche si usano cm², litri (1 L = 1 dm³) e, per i serbatoi, ettolitri. La calotta sferica — la porzione di sfera tagliata da un piano ad altezza h — ha area laterale A = 2πrh e volume V = πh²(3r − h)/3, formule essenziali per calcolare il liquido contenuto in un serbatoio sferico o il volume di una cupola. Il raggio di base della calotta è √(h(2r − h)). Esempi concreti: una biglia da cuscinetto di raggio 5 mm ha superficie 314 mm² e volume 524 mm³; la Terra, approssimata a raggio medio 6371 km, ha superficie 5,1×10⁸ km² e volume 1,08×10¹² km³. Invertendo la formula del volume si ricava il raggio da un volume noto: r = ∛(3V/4π), utile per dimensionare sfere a partire dalla capacità richiesta.

Aggiornato a luglio 2026