Wie berechnet man Schiefe und Wölbung

Berechne Schiefe und Wölbung eines Datensatzes. Rechter/linker Schwanz, leptokurtische/platykurtische Verteilungen, Jarque-Bera-Normalitätstest. Pearson 1895, Fisher.

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Wie berechnet man Schiefe und Wölbung: die Schiefe (skewness) misst die Symmetrie: γ_1 = E[(X−μ)³]/σ³. = 0 symmetrisch, > 0 rechte Schwanz, 0 leptokurtisch, < 0 platykurtisch.

Formel und zentrale Momente

Standardisierte zentrale Momente 3. und 4. Ordnung. μ_k = E[(X−μ)^k]. Skewness = μ_3/σ^3, Kurtosis = μ_4/σ^4. Normal: ungerade Momente = 0, gerade μ_2=σ², μ_4=3σ⁴.

Geschichte

Pearson (1895) führte "skewness" ein und (1905) "kurtosis". Fisher erweiterte die Theorie. Jarque-Bera-Test (1980) kombiniert beide. Das BfArM und EMA verlangen Normalitätsprüfungen.

Interpretationstabelle

  • Skewness ≈ 0: symmetrisch
  • >0.5: moderate positiv
  • >1: stark positiv
  • <-0.5: negativ
  • Exzess = 0: normal
  • >0: leptokurtisch
  • <0: platykurtisch
  • JB > 5.99: Normalität ablehnen

Rechenbeispiele

Beispiel 1 — fast normal. {5,7,...,15}. Skew ≈ 0, Kurt ≈ 1.7.

Beispiel 2 — schief. Einkommen. Skew = 2.1, Kurt = 6.9.

Beispiel 3 — finanziell. S&P 500. Skew ≈ -0.4, exz Kurt ≈ 17.

Beispiel 4 — Würfel. Skew = 0, exz Kurt = -1.27.

Beispiel 5 — Cauchy. Momente divergieren.

Grenzen

  1. Empfindlich gegen Ausreißer.
  2. Instabil bei kleinem n.
  3. Multimodal: zusätzliche Analyse.
  4. Cauchy/Pareto: unendliche Momente.
  5. JB nur bei n > 2000 stark.
  6. Kurtosis vs Exzess.
  7. Pearson vs Fisher.
  8. Joanes-Gill-Anpassung.

Häufige Fehler

  1. Positive Schiefe ≠ Daten rechts.
  2. Kurtosis vs Exzess melden.
  3. Ohne Stichprobenkorrektur.
  4. Normalität nur aus Momenten.
  5. Dominante Ausreißer.
  6. Normalität in Finanzen annehmen.
  7. Multimodal mit nur zwei Momenten.
  8. JB bei kleinem n.

Praktische Anwendungen

  1. Finanzwesen (VaR, GARCH).
  2. Risikomanagement (Basel, Solvency).
  3. Qualität (DIN EN ISO 7870).
  4. Klinische Studien (BfArM, EMA).
  5. Psychometrie.
  6. Demografie (Destatis).
  7. Klimatologie (DWD).
  8. Bioinformatik.
  9. Marketing.
  10. Bildung.

Support

Fragen: info@calcoi.com. Lernwerkzeug.

Warum Schiefe und Wolbung uber Mittelwert und Varianz hinaus zahlen

Mittelwert und Varianz sind die ersten beiden Bausteine, um einen Datensatz zu beschreiben: sie sagen, wo er zentriert ist und wie stark er streut. Doch sie genugen nicht, um die Form der Verteilung zu erfassen. Zwei Datensatze mit genau demselben Mittelwert und derselben Varianz konnen radikal verschieden aussehen: einer symmetrisch, der andere schief, einer mit leichten, der andere mit schweren Randern. Schiefe und Wolbung sind genau die nachsten beiden Momente, die diese Formunterschiede erfassen.

Diese hoheren Momente zu ignorieren kann gefahrlich sein, vor allem in der Finanzwelt. Modelle, die eine Normalverteilung annehmen, unterschatzen die Wahrscheinlichkeit extremer Ereignisse, weil die Normalverteilung dunne Rander hat. Tatsachlich sind Finanzrenditen oft leptokurtisch, mit dicken Randern, was Abstruze weit wahrscheinlicher macht, als die Gausssche Glocke vorhersagt. Die Krise von 2008 war teils eine Lektion dazu: das Risiko nur uber Mittelwert und Varianz zu steuern, lasst gerade die schadlichsten Ereignisse aussen vor.

Der Jarque-Bera-Test und die Normalitatsprufung

Viele statistische Methoden, von der Regression bis zu Hypothesentests, setzen voraus, dass die Daten einer Normalverteilung folgen. Diese Annahme zu prufen ist wesentlich, und der Jarque-Bera-Test ist eines der meistgenutzten Werkzeuge dafur. Er kombiniert Schiefe und Exzesswolbung zu einer einzigen Statistik: unter der Normalitatshypothese folgt diese naherungsweise einer Chi-Quadrat-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden, deren kritischer Wert bei 5 Prozent 5,99 betragt.

Die Interpretation ist direkt: uberschreitet die Jarque-Bera-Statistik diese Schwelle, wird die Normalitat abgelehnt; bleibt sie darunter, sind die Daten mit einer Normalverteilung vereinbar. Man sollte bedenken, dass der Test vor allem bei grossen Stichproben zuverlassig ist, da die Formeln auf asymptotischen Naherungen beruhen. Fur kleine Stichproben oder wenn mehr Empfindlichkeit notig ist, gibt es Alternativen wie die Tests von Shapiro-Wilk oder Anderson-Darling, die oft erganzend eingesetzt werden.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Schiefe (skewness)?

Es ist das Mass der Symmetrie einer Verteilung, definiert als das dritte standardisierte zentrale Moment: gamma_1 = E[(X-mu)^3]/sigma^3. Sie ist null fur eine symmetrische Verteilung, positiv, wenn der rechte Rand langer ist (hohe Werte gestreut), negativ, wenn es der linke Rand ist. Sie beschreibt das Ungleichgewicht der Daten.

Was ist die Wolbung (kurtosis)?

Es ist das Mass der Schwere der Rander einer Verteilung, das vierte standardisierte zentrale Moment: gamma_2 = E[(X-mu)^4]/sigma^4. Fur die Normalverteilung betragt es 3. Oft wird die Exzesswolbung gamma_2 - 3 verwendet: positiv bedeutet schwere Rander und hohen Gipfel (leptokurtisch), negativ kurze Rander und flache Form (platykurtisch).

Was ist der Unterschied zwischen leptokurtisch und platykurtisch?

Eine leptokurtische Verteilung hat positive Exzesswolbung: schwerere Rander und einen hoheren Gipfel als die Normalverteilung, also mehr Extremwerte. Eine platykurtische hat negativen Exzess: kurzere Rander und flachere Form mit weniger Extremwerten. Die Normalverteilung, mit Exzess null, heisst mesokurtisch.

Warum genugen Mittelwert und Varianz nicht?

Weil sie nur Lage und Streuung beschreiben, nicht die Form. Zwei Verteilungen mit gleichem Mittelwert und gleicher Varianz konnen die eine symmetrisch und die andere schief sein, die eine mit leichten und die andere mit schweren Randern. Schiefe und Wolbung erfassen diese Formunterschiede, etwa im Risikomanagement wesentlich.

Was ist der Jarque-Bera-Test?

Es ist ein statistischer Test, der pruft, ob Daten einer Normalverteilung folgen, indem er Schiefe und Exzesswolbung zu einem einzigen Wert kombiniert: JB = (n/6)(skew^2 + Exzess^2/4). Unter der Normalitatshypothese folgt er einer Chi-Quadrat mit 2 Freiheitsgraden; ubersteigt JB 5,99, wird die Normalitat auf 5% abgelehnt.

Wie interpretiert man den Schiefewert?

In der Praxis: zwischen -0,5 und +0,5 ist die Verteilung annahernd symmetrisch; zwischen 0,5 und 1 (oder -0,5 und -1) ist die Schiefe massig; uber 1 im Betrag ist sie ausgepragt. Eine positive Schiefe zeigt einen langen rechten Rand mit wenigen sehr hohen Werten an, typisch fur Einkommen und Preise.

Warum zahlt die Wolbung in der Finanzwelt?

Weil Finanzrenditen typisch schwere Rander (leptokurtisch) haben: Extremereignisse wie Marktcrashs sind weit haufiger, als die Normalverteilung vorhersagt. Modelle, die die Wolbung ignorieren, unterschatzen das Risiko, eine der Lektionen der Krise von 2008.

Ist eine Korrektur fur kleine Stichproben notig?

Ja. Die Grundformeln liefern fur kleine Stichproben verzerrte Schatzungen. Es gibt korrigierte Versionen, wie die angepasste Schiefe Wurzel(n(n-1))/(n-2) mal skew und die angepasste Wolbung mit von n abhangigen Faktoren, die der Rechner neben den Rohwerten fur zuverlassigere Schatzungen liefert.

Formel

\gamma_1 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}, \quad \gamma_2 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}, \quad \text{Excess} = \gamma_2 - 3

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