Cómo calcular asimetría y curtosis

Calcula asimetría y curtosis. Cola derecha/izquierda, distribuciones leptocúrticas/platicúrticas, test Jarque-Bera. Pearson 1895, Fisher, momentos centrales.

Parámetros de cálculo
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Cómo calcular asimetría y curtosis: la asimetría (skewness) mide la simetría: γ_1 = E[(X−μ)³]/σ³. = 0 simétrica, > 0 cola derecha, 0 leptocúrtica, < 0 platicúrtica.

Fórmula y momentos centrales

Momentos centrales estandarizados de tercer y cuarto orden. μ_k = E[(X−μ)^k]. Skewness = μ_3/σ^3, Kurtosis = μ_4/σ^4. Normal: momentos impares = 0, pares μ_2=σ², μ_4=3σ⁴.

Historia

Pearson (1895) introdujo "skewness" y (1905) "kurtosis". Fisher extendió la teoría. Test Jarque-Bera (1980) combina ambos. La AEMPS y EMA requieren chequeos de normalidad.

Tabla interpretación

  • Skewness ≈ 0: simétrica
  • >0.5: positiva moderada
  • >1: positiva fuerte
  • <-0.5: negativa
  • Excess = 0: normal
  • >0: leptocúrtica
  • <0: platicúrtica
  • JB > 5.99: rechazar normalidad

Ejemplos numéricos

Ejemplo 1 — casi normal. {5,7,...,15}. Skew ≈ 0, kurt ≈ 1.7.

Ejemplo 2 — sesgada. Ingresos. Skew = 2.1, kurt = 6.9.

Ejemplo 3 — financieros. S&P 500. Skew ≈ -0.4, exc kurt ≈ 17. Fat tails.

Ejemplo 4 — dado. Skew = 0, exc kurt = -1.27.

Ejemplo 5 — Cauchy. Momentos divergen, no definidos.

Limitaciones

  1. Sensibles a outliers.
  2. Inestables para n pequeño.
  3. Multimodales: análisis adicional.
  4. Cauchy/Pareto: momentos infinitos.
  5. JB potente solo n > 2000.
  6. Kurtosis vs excess kurtosis.
  7. Pearson vs Fisher kurtosis.
  8. Ajuste Joanes-Gill.

Errores comunes

  1. Skewness positiva ≠ datos a la derecha.
  2. Reportar kurtosis vs excess.
  3. Sin corrección sample.
  4. Normalidad solo de momentos.
  5. Outliers dominantes.
  6. Asumir normalidad en finanzas.
  7. Multimodal con solo dos momentos.
  8. JB con n pequeño.

Aplicaciones prácticas

  1. Finanzas (VaR, GARCH).
  2. Risk management (Basilea, Solvencia).
  3. Calidad (UNE-EN ISO 7870).
  4. Ensayos clínicos (AEMPS, EMA).
  5. Psicometría.
  6. Demografía (INE).
  7. Climatología (AEMET).
  8. Bioinformática.
  9. Marketing.
  10. Educación.

Soporte

Preguntas: info@calcoi.com. Herramienta educativa.

Por que la asimetria y la curtosis importan mas alla de la media y la varianza

La media y la varianza son las dos primeras piezas para describir un conjunto de datos: dicen donde se centran y cuanto se dispersan. Pero no bastan para captar la forma de la distribucion. Dos conjuntos con exactamente la misma media y la misma varianza pueden tener aspectos radicalmente distintos: uno simetrico y otro sesgado, uno con colas ligeras y otro con colas pesadas. La asimetria y la curtosis son precisamente los dos momentos siguientes que capturan esas diferencias de forma.

Ignorar estos momentos superiores puede ser peligroso, sobre todo en finanzas. Los modelos que suponen una distribucion normal subestiman la probabilidad de eventos extremos, porque la normal tiene colas delgadas. En realidad los rendimientos financieros suelen ser leptocurticos, con colas gruesas que hacen los desplomes mucho mas probables de lo que predice la campana de Gauss. La crisis de 2008 fue en parte una leccion sobre este punto: gestionar el riesgo mirando solo media y varianza deja fuera justo los sucesos que mas dano hacen.

El test de Jarque-Bera y la verificacion de normalidad

Muchos metodos estadisticos, desde la regresion hasta los contrastes de hipotesis, suponen que los datos siguen una distribucion normal. Comprobar esa suposicion es esencial, y el test de Jarque-Bera es una de las herramientas mas usadas para hacerlo. Combina la asimetria y el exceso de curtosis en un unico estadistico: bajo la hipotesis de normalidad, este sigue aproximadamente una distribucion chi-cuadrado con dos grados de libertad, cuyo valor critico al 5 por ciento es 5,99.

La interpretacion es directa: si el estadistico de Jarque-Bera supera ese umbral, se rechaza la normalidad; si queda por debajo, los datos son compatibles con una distribucion normal. Conviene recordar que el test es fiable sobre todo con muestras grandes, ya que las formulas se apoyan en aproximaciones asintoticas. Para muestras pequenas o cuando se necesita mayor sensibilidad, existen alternativas como los tests de Shapiro-Wilk o de Anderson-Darling, que a menudo se emplean de forma complementaria.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

Que es la asimetria (skewness)?

Es la medida de la simetria de una distribucion, definida como el tercer momento central estandarizado: gamma_1 = E[(X-mu)^3]/sigma^3. Vale cero para una distribucion simetrica, es positiva cuando la cola derecha es mas larga (valores altos dispersos), negativa cuando lo es la cola izquierda. Describe el desequilibrio de los datos.

Que es la curtosis (kurtosis)?

Es la medida de la pesadez de las colas de una distribucion, el cuarto momento central estandarizado: gamma_2 = E[(X-mu)^4]/sigma^4. Para la distribucion normal vale 3. Se usa a menudo el exceso de curtosis, gamma_2 - 3: positivo indica colas pesadas y pico alto (leptocurtica), negativo colas cortas y forma plana (platicurtica).

Que diferencia hay entre leptocurtica y platicurtica?

Una distribucion leptocurtica tiene exceso de curtosis positivo: colas mas pesadas y un pico mas alto que la normal, por tanto mas valores extremos. Una platicurtica tiene exceso negativo: colas mas cortas y forma mas plana, con menos valores extremos. La normal, con exceso cero, se llama mesocurtica.

Por que no bastan la media y la varianza?

Porque describen solo posicion y dispersion, pero no la forma. Dos distribuciones con la misma media y varianza pueden ser una simetrica y una asimetrica, una con colas ligeras y una con colas pesadas. La asimetria y la curtosis capturan estas diferencias de forma, esenciales por ejemplo en la gestion del riesgo.

Que es el test de Jarque-Bera?

Es un test estadistico que verifica si los datos siguen una distribucion normal, combinando la asimetria y el exceso de curtosis en un unico valor: JB = (n/6)(skew^2 + exceso^2/4). Bajo la hipotesis de normalidad sigue una chi-cuadrado con 2 grados de libertad; si JB supera 5,99 se rechaza la normalidad al 5%.

Como se interpreta el valor de skewness?

En la practica: entre -0,5 y +0,5 la distribucion es aproximadamente simetrica; entre 0,5 y 1 (o -0,5 y -1) la asimetria es moderada; mas alla de 1 en valor absoluto es marcada. Una asimetria positiva senala una cola derecha larga con pocos valores muy altos, tipica de ingresos y precios.

Por que importa la curtosis en finanzas?

Porque los rendimientos financieros tienen tipicamente colas pesadas (leptocurticas): los eventos extremos, como los desplomes de mercado, son mucho mas frecuentes de lo que predice la distribucion normal. Los modelos que ignoran la curtosis subestiman el riesgo, una de las lecciones de la crisis de 2008.

Hace falta correccion para muestras pequenas?

Si. Las formulas basicas dan estimaciones sesgadas para muestras pequenas. Existen versiones corregidas, como la asimetria ajustada raiz(n(n-1))/(n-2) por skew y la curtosis ajustada con factores dependientes de n, que la calculadora ofrece junto a los valores crudos para estimaciones mas fiables.

Fórmula

\gamma_1 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}, \quad \gamma_2 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}, \quad \text{Excess} = \gamma_2 - 3

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