Resonanzfrequenz Rechner: LC, RLC, Feder-Masse, Pendel

Berechne die Resonanzfrequenz f = 1/(2π√LC) für LC- und RLC-Schaltungen, Feder-Masse-Systeme und Pendel. Gütefaktor Q, Dämpfung und Periode. Vier Rechenmodi.

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Resonanz in schwingenden Systemen

Die Resonanzfrequenz ist die Eigenfrequenz, bei der ein schwingendes System bei äußerer Anregung am effizientesten Energie aufnimmt. Bei dieser Frequenz erreicht die Amplitude ihr Maximum (theoretisch unendlich ohne Dämpfung). Das Phänomen ist universell: elektronische Schaltungen, Saiten, Hängebrücken (der Einsturz der Tacoma-Narrows-Brücke 1940 war aeroelastische Resonanz), Mikrowellen (Wasser bei ~2,45 GHz). Jedes lineare System mit zwei gekoppelten Energieformen besitzt eine Resonanzfrequenz.

Idealer LC-Schwingkreis

Ein LC-Schwingkreis koppelt einen Kondensator C (Feldenergie) mit einer Induktivität L (Magnetfeldenergie). Ohne Widerstand pendelt die Energie zwischen C und L mit der Eigenfrequenz f₀ = 1/(2π·√(L·C)). Kreisfrequenz ω₀ = 1/√(LC), Periode T = 2π·√(LC). Beispiel: L = 100 μH, C = 100 pF → f₀ ≈ 1,59 MHz (AM-Bereich). Thomsonsche Schwingungsgleichung (1853), Grundlage aller Schwingkreise in Radio, TV, Funk, RFID.

Serien-RLC und Dämpfung

Ein zusätzlicher Widerstand R erzeugt Dämpfung. Dimensionsloses Dämpfungsmaß ζ = (R/2)·√(C/L). Unterkritisch ζ1 ohne Schwingung. Der Gütefaktor Q = (1/R)·√(L/C) = 1/(2ζ) misst die Selektivität: hohes Q = schmale Bandbreite, langsam abklingende Schwingung. Quarzoszillatoren erreichen Q ≈ 10⁴-10⁶.

Feder-Masse-System

Masse m an Feder mit Steifigkeit k (Hookesches Gesetz F = −k·x) schwingt mit f = (1/2π)·√(k/m). Periode T = 2π·√(m/k). Beispiel: m = 1 kg, k = 100 N/m → f ≈ 1,59 Hz. Unabhängig von der Amplitude (linearer Rückstellkraft-Ansatz).

Mathematisches Pendel

Länge L, Schwerkraft g (≈ 9,81 m/s²): Frequenz kleiner Schwingungen f = (1/2π)·√(g/L), Periode T = 2π·√(L/g). Galileos Isochronismus: die Periode ist amplitudenunabhängig (bis etwa 10°). Beispiel: L = 1 m → T ≈ 2,006 s. Großamplitudenkorrektur: T ≈ 2π·√(L/g)·(1 + θ₀²/16).

Weitere Resonanzen

  • Physikalisches Pendel: T = 2π·√(I/(m·g·d)).
  • Schwingende Saite: f_n = (n/(2L))·√(T/μ).
  • Offene Pfeife: f_n = n·v/(2L); gedeckte: f_n = (2n−1)·v/(4L).
  • Kepler-Bahnen: T² ∝ a³ (drittes Keplersches Gesetz).

Lorentz-Kurve

Bei erzwungener Schwingung folgt die Amplituden-Frequenz-Antwort einer Lorentzkurve um f₀ mit Halbwertsbreite Δf = f₀/Q. Genutzt in Funksendern (Sendersuchlauf), MRT (Protonen im RF-Feld), Musikinstrumenten, Seismographen.

Bedienung

Modi: LC-Schaltung, Serien-RLC, Feder-Masse, mathematisches Pendel. SI-Einheiten. Rechner gibt ω, T, Q, ζ und die Dämpfungsklasse aus.

Anwendungen

Analoge Radios (LC-Abstimmung), Audio-Bandpassfilter, Quarzoszillatoren (Digitaluhren, CPUs), induktive Sensoren, Wireless Charging (Qi 110-205 kHz), MRT (60-120 MHz bei 1,5-3 T), Mikrowellenherde (2,45 GHz), Schwingungsisolation, Bauingenieurwesen (Resonanz mit Erdbeben-/Windfrequenzen vermeiden).

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Resonanzfrequenz?

Es ist die natürliche Frequenz, bei der ein schwingendes System Energie effizient ansammelt, wenn es erregt wird. Bei Resonanz erreicht die Amplitude ihr Maximum (theoretisch unendlich ohne Dämpfung). Tritt auf in Elektronik (LC-, RLC-Schaltkreise), Mechanik (Feder-Masse, Pendel), Strukturen (Brücken, Gebäude), Akustik (Saiten, Rohre), Mikrowellen (Wasser bei 2,45 GHz), Kernspinresonanz.

Wie wird die Resonanz eines LC-Schwingkreises berechnet?

Mit der Thomson-Formel (1853): f₀ = 1/(2π·√(L·C)), Kreisfrequenz ω₀ = 1/√(LC), Periode T = 2π·√(LC). Beispiel: L = 100 μH, C = 100 pF → f₀ ≈ 1,59 MHz (AM-Band). Für UKW (88-108 MHz): L=1 μH und C ≈ 1-3 pF. Grundlage aller Radio-, TV-, RFID-Tuner und Qi-Drahtlosladung.

Was ändert sich in einem RLC-Schaltkreis?

Ein Widerstand R führt Dämpfung ζ = (R/2)·√(C/L) ein. Unterkritisch (ζ1) exponentielles Abklingen. Gütefaktor Q = (1/R)·√(L/C) = 1/(2ζ) misst die 'Schärfe' der Resonanz: hohes Q = schmales Band. Quarzkristalle: Q ≈ 10⁵.

Welche Eigenfrequenz hat ein Feder-Masse-System?

Aus dem Hookeschen Gesetz F = −k·x: f = (1/2π)·√(k/m), Periode T = 2π·√(m/k). Beispiel: m = 1 kg, k = 100 N/m → f ≈ 1,59 Hz. Die Frequenz ist amplitudenunabhängig (lineare Näherung). Kfz-Federung: k=20 kN/m, m≈400 kg/Rad → f ≈ 1,1 Hz (komfortable Frequenz).

Wie wird die Periode eines Pendels berechnet?

Für kleine Schwingungen (<10°): T = 2π·√(L/g), f = (1/2π)·√(g/L), unabhängig von der Masse. Auf der Erde mit g = 9,81 m/s²: L = 1 m → T ≈ 2,006 s. L = 0,994 m → T = 2 s (Standard-Pendeluhr). Bei größeren Amplituden: T ≈ T₀·(1 + θ₀²/16). Galileo entdeckte 1602 die Isochronie, Grundlage mechanischer Uhren bis ins 20. Jahrhundert.

Was ist der Gütefaktor Q?

Q = ω₀·(gespeicherte Energie)/(verlorene Leistung) misst die 'Schärfe' der Resonanz. Hohes Q = schmale Bandbreite Δf = f₀/Q. Beispiele: Violinsaite Q ≈ 1 000; Quarzkristall Q ≈ 10⁵ (Quarzuhren); supraleitende Kavität Q ≈ 10¹⁰ (LHC-Beschleuniger). Im Radio bestimmt Q die Trennschärfe der Sendereinstellung.

Warum ist Resonanz in Bauwerken gefährlich?

Stimmt eine äußere Anregungsfrequenz mit der Eigenfrequenz überein, wächst die Amplitude unbegrenzt (ohne ausreichende Dämpfung). Klassiker: Einsturz der Tacoma-Narrows-Brücke 1940 durch aeroelastische Resonanz. Baunormen (z. B. Eurocode 8 in Europa) verlangen dynamische Analysen mit Eigenfrequenzen außerhalb des Erdbeben- (0,5-10 Hz) und Windbereichs (0,05-1 Hz).

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