La risonanza nei sistemi oscillanti

La frequenza di risonanza è la frequenza naturale alla quale un sistema oscillante accumula energia in modo efficiente quando stimolato esternamente. A questa frequenza, l'ampiezza dell'oscillazione raggiunge il massimo (in assenza di smorzamento tende all'infinito). Il fenomeno è universale: dai circuiti elettronici alle corde di chitarra, dai ponti sospesi (il crollo del Tacoma Narrows nel 1940 fu causato da risonanza aeroelastica) al forno a microonde che fa risuonare le molecole d'acqua a ~2,45 GHz. Tutti i sistemi lineari con due forme di immagazzinamento dell'energia e accoppiamento reversibile possiedono una frequenza di risonanza.

Circuito LC ideale

Un circuito LC è formato da un condensatore C (energia nel campo elettrico) e un induttore L (energia nel campo magnetico) collegati in serie o parallelo. Senza resistenza l'energia oscilla tra C e L alla frequenza naturale f₀ = 1 / (2π · √(L·C)). La pulsazione è ω₀ = 1/√(L·C); il periodo T = 2π·√(L·C). Esempio: L = 100 μH, C = 100 pF → f₀ = 1/(2π·√(10⁻⁴·10⁻¹⁰)) = 1/(2π·10⁻⁷) ≈ 1,59 MHz (banda radio AM). Questa formula, ottenuta da Thomson nel 1853, è la base del circuito oscillante utilizzato in radio, TV, trasmettitori wireless e modulazione RFID.

Circuito RLC serie: smorzamento

Aggiungendo una resistenza R si ottiene un circuito RLC con smorzamento. La frequenza di risonanza effettiva dipende dal fattore di smorzamento adimensionale ζ = (R/2) · √(C/L). Casi: ζ 1 (sovrasmorzato, ritorno lento senza oscillazione). Il fattore di qualità Q = (1/R)·√(L/C) = 1/(2ζ) misura la selettività del circuito: Q alto significa banda stretta e oscillazioni persistenti (es. Q = 100 → oscillazione si dimezza dopo ~22 cicli). I filtri radio tipici hanno Q = 50-500; gli oscillatori al quarzo Q = 10⁴-10⁶.

Sistema molla-massa

Una massa m attaccata a una molla di costante elastica k (legge di Hooke F = −k·x) oscilla con f = (1/2π) · √(k/m). Il periodo è T = 2π·√(m/k). Esempio: m = 1 kg, k = 100 N/m → f ≈ 1,59 Hz. Raddoppiando la massa la frequenza si divide per √2; raddoppiando la rigidezza si moltiplica per √2. La formula è indipendente dall'ampiezza dell'oscillazione (approssimazione lineare della forza di richiamo). Con attrito viscoso si introduce smorzamento analogo al circuito RLC.

Pendolo semplice

Un pendolo semplice di lunghezza L in un campo gravitazionale g (≈ 9,81 m/s² sulla Terra) ha frequenza di piccole oscillazioni f = (1/2π) · √(g/L), equivalentemente periodo T = 2π·√(L/g). Famosa isocronia di Galileo: il periodo è indipendente dall'ampiezza (per angoli piccoli, fino a ~10°). Esempio: L = 1 m → T ≈ 2,006 s (quasi esattamente 2 secondi, da cui il metro pendolare proposto come unità di misura in passato). Per ampiezze maggiori serve la correzione: T ≈ 2π·√(L/g) · (1 + θ₀²/16 + ...) con θ₀ in radianti.

Altre frequenze di risonanza

• Pendolo fisico: T = 2π·√(I/(m·g·d)), con I momento d'inerzia e d distanza asse-baricentro.
• Corde vibranti: f_n = (n/(2L))·√(T/μ), con T tensione e μ densità lineare; n = 1 modo fondamentale.
• Tubo sonoro aperto: f_n = n·v/(2L) (tutti gli armonici); chiuso a un estremo: f_n = (2n−1)·v/(4L) (solo dispari).
• Cavità elettromagnetica: frequenze discrete date dai modi TM/TE.
• Orbite kepleriane: periodo T² ∝ a³ (terza legge di Keplero).

Risonanza forzata e curva di Lorentz

Quando un sistema oscillante smorzato viene forzato alla frequenza f_ext, l'ampiezza della risposta segue una curva di Lorentz centrata su f₀. La larghezza a metà altezza (FWHM) vale Δf = f₀/Q. A f_ext = f₀ la potenza trasferita è massima. Questo principio è sfruttato in: sintonizzazione di radio/TV (seleziona una stazione restringendo Δf), MRI (i protoni risuonano al campo RF), strumenti musicali (le casse di risonanza amplificano specifiche frequenze), sismografi.

Come usare il calcolatore

Quattro modalità: Circuito LC (L, C → f, ω, T); Circuito RLC serie (R, L, C → f₀, f_d, Q, ζ, classificazione smorzamento); Molla-massa (k, m → f, T); Pendolo semplice (L, g → f, T). Unità SI (henry, farad, ohm, kg, N/m, m, m/s²). Il calcolatore mostra anche la pulsazione angolare ω = 2πf e segnala se il sistema è sottosmorzato, critico o sovrasmorzato.

Applicazioni pratiche

Radio analogiche (sintonizzazione LC variabile), filtri audio passa-banda, oscillatori a cristallo (orologi digitali, computer), sensori induttivi, ricarica wireless a induzione (standard Qi ≈ 110-205 kHz), apparati MRI (60-120 MHz, protoni a 1,5-3 T), forni a microonde (2,45 GHz), macchinari industriali (sistemi di isolamento antivibrazione dimensionati per non coincidere con le frequenze di eccitazione), ingegneria strutturale (ponti e grattacieli devono evitare la risonanza con frequenze sismiche e del vento).

Aggiornato a luglio 2026