Calculateur Fréquence de Résonance : LC, RLC, ressort, pendule

Calculez la fréquence de résonance f = 1/(2π√LC) pour circuits LC/RLC, systèmes ressort-masse et pendules. Facteur Q, amortissement et période. Quatre modes.

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La résonance dans les systèmes oscillants

La fréquence de résonance est la fréquence naturelle à laquelle un système oscillant accumule efficacement l'énergie lorsqu'il est excité. À cette fréquence l'amplitude atteint son maximum (théoriquement infinie sans amortissement). Phénomène universel : circuits électroniques, cordes, ponts suspendus (effondrement du Tacoma Narrows en 1940, résonance aéroélastique), micro-ondes (eau à ~2,45 GHz). Tout système linéaire à deux formes couplées d'énergie possède une résonance.

Circuit LC idéal

Un circuit LC couple un condensateur C et une inductance L. Sans résistance, l'énergie oscille à la fréquence naturelle f₀ = 1/(2π·√(L·C)). Pulsation ω₀ = 1/√(LC), période T = 2π·√(LC). Exemple : L = 100 μH, C = 100 pF → f₀ ≈ 1,59 MHz (bande AM). Formule de Thomson (1853), base des circuits oscillants.

RLC et amortissement

La résistance R introduit un amortissement ζ = (R/2)·√(C/L). Sous-amorti ζ1 sans oscillation. Facteur de qualité Q = (1/R)·√(L/C) = 1/(2ζ). Cristaux de quartz Q ≈ 10⁵.

Ressort-masse

Loi de Hooke F = −k·x. Fréquence f = (1/2π)·√(k/m), période T = 2π·√(m/k). Exemple : m = 1 kg, k = 100 N/m → f ≈ 1,59 Hz. Indépendant de l'amplitude (approximation linéaire).

Pendule simple

Petites oscillations (<10°) : f = (1/2π)·√(g/L), T = 2π·√(L/g). L = 1 m sur Terre → T ≈ 2,006 s. Correction pour grandes amplitudes : T ≈ 2π·√(L/g)·(1 + θ₀²/16).

Autres résonances

  • Pendule physique : T = 2π·√(I/(m·g·d)).
  • Corde : f_n = (n/(2L))·√(T/μ).
  • Tuyau ouvert : f_n = n·v/(2L) ; fermé : f_n = (2n−1)·v/(4L).
  • Orbites : T² ∝ a³ (Kepler).

Courbe lorentzienne

Amplitude vs. fréquence suit une lorentzienne centrée en f₀ ; FWHM Δf = f₀/Q. Utilisé pour la syntonisation radio, l'IRM, les instruments de musique.

Utilisation

Modes : LC, RLC série, ressort-masse, pendule simple. Unités SI. Retourne ω, T, Q, ζ et classification amortissement.

Applications

Radios, filtres audio, oscillateurs quartz, charge sans fil Qi (110-205 kHz), IRM, fours micro-ondes, isolation vibratoire, ingénierie des structures (éviter la résonance sismique/éolienne).

Histoire de la résonance

Le concept de résonance est apparu avec Galilée (1602) dans ses études du pendule et des cordes vibrantes. Christiaan Huygens (1657) construisit la première horloge à pendule, exploitant son isochronisme. La formule de Thomson pour le circuit LC (1853) inaugura l'électromagnétisme pratique. Au XXᵉ siècle, les catastrophes structurelles (Tacoma Narrows 1940, soldats marchant sur le pont de l'Albert Hall, Londres 1831) ont illustré les dangers de la résonance mécanique. Aujourd'hui la résonance magnétique nucléaire (RMN/IRM, Bloch et Purcell, Nobel 1952) et les horloges atomiques (basées sur les transitions hyperfines du césium-133, ν = 9 192 631 770 Hz) sont des applications d'une précision extrême.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la fréquence de résonance ?

C'est la fréquence naturelle à laquelle un système oscillant accumule efficacement l'énergie lorsqu'il est excité. À la résonance l'amplitude atteint son maximum (théoriquement infinie sans amortissement). On la rencontre en électronique (circuits LC, RLC), mécanique (ressort-masse, pendule), structures (ponts, bâtiments), acoustique (cordes, tuyaux), micro-ondes (eau à 2,45 GHz), résonance magnétique nucléaire.

Comment calcule-t-on la résonance d'un circuit LC ?

Avec la formule de Thomson (1853) : f₀ = 1/(2π·√(L·C)), pulsation ω₀ = 1/√(LC), période T = 2π·√(LC). Exemple : L = 100 μH, C = 100 pF → f₀ ≈ 1,59 MHz (bande AM). Pour la FM (88-108 MHz) : L=1 μH et C ≈ 1-3 pF. Base de tous les tuners radio, TV, RFID et de la charge sans fil Qi.

Qu'est-ce qui change dans un circuit RLC ?

Ajouter une résistance R introduit un amortissement ζ = (R/2)·√(C/L). Sous-amorti (ζ1) décroissance exponentielle. Facteur de qualité Q = (1/R)·√(L/C) = 1/(2ζ) mesure l'acuité de la résonance : Q élevé = bande étroite. Cristaux de quartz : Q ≈ 10⁵.

Quelle est la fréquence naturelle d'un système ressort-masse ?

De la loi de Hooke F = −k·x : f = (1/2π)·√(k/m), période T = 2π·√(m/k). Exemple : m = 1 kg, k = 100 N/m → f ≈ 1,59 Hz. La fréquence est indépendante de l'amplitude (approximation linéaire). Suspension automobile : k=20 kN/m, m≈400 kg/roue → f ≈ 1,1 Hz (fréquence confortable).

Comment calcule-t-on la période d'un pendule ?

Pour de petites oscillations (<10°) : T = 2π·√(L/g), f = (1/2π)·√(g/L), indépendant de la masse. Sur Terre avec g = 9,81 m/s² : L = 1 m → T ≈ 2,006 s. L = 0,994 m → T = 2 s (horloge à pendule standard). Pour amplitudes plus grandes : T ≈ T₀·(1 + θ₀²/16). Galilée (1602) découvrit l'isochronisme, base des horloges mécaniques jusqu'au XXᵉ siècle.

Qu'est-ce que le facteur de qualité Q ?

Q = ω₀·(énergie stockée)/(puissance dissipée) mesure l'acuité de la résonance. Q élevé = bande passante étroite Δf = f₀/Q. Exemples : corde de violon Q ≈ 1 000 ; cristal de quartz Q ≈ 10⁵ (montres à quartz) ; cavité supraconductrice Q ≈ 10¹⁰ (accélérateurs LHC). En radio, Q détermine la sélectivité de la syntonisation des stations.

Pourquoi la résonance est-elle dangereuse dans les structures ?

Si une fréquence d'excitation externe coïncide avec la fréquence propre, l'amplitude croît sans limite (sans amortissement suffisant). Cas classique : effondrement du pont Tacoma Narrows en 1940 par résonance aéroélastique. Les codes structurels (Eurocode 8 en Europe) exigent une analyse dynamique avec fréquences propres hors du domaine sismique (0,5-10 Hz) et éolien (0,05-1 Hz).

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