Poisson-Verteilung Rechner: P(X=k), λ, kumulativ, Mittelwert

Berechne die Poisson-Verteilung P(X=k) = λ^k·e^(-λ)/k!, kumulative Wahrscheinlichkeit, Intervall und Mittelwert σ² = λ. Seltene Ereignisse, Warteschlangen.

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Die Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung (Siméon Poisson, 1837) modelliert die Anzahl X von Ereignissen in einem festen Intervall (Zeit, Raum, Volumen), wenn: die Ereignisse unabhängig sind, die mittlere Rate λ konstant ist und keine zwei Ereignisse gleichzeitig auftreten. Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!, mit λ > 0 der Erwartungszahl im Intervall und k = 0, 1, 2, ... Diskret mit unendlichem Träger.

Wann Poisson anwenden

Poisson ist der Grenzfall der Binomialverteilung für großes n und kleines p mit λ = n·p endlich. Modelliert seltene Ereignisse in großen Intervallen. Klassische Beispiele: Anrufzahl pro Stunde in einem Callcenter; Kundenankünfte an einem Schalter; radioaktive Zerfälle; Mutationen pro DNA-Segment; Tippfehler pro Buch; Geburten pro Krankenhaus; Verkehrsereignisse pro Straße; von einer CCD-Kamera detektierte Photonen; kosmische Teilchen pro Teleskop.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!. Beispiele mit λ = 3: P(X = 0) = e^(−3) ≈ 0,0498; P(X = 1) ≈ 0,1494; P(X = 2) ≈ 0,2240 (Maximum); P(X = 3) ≈ 0,2240; P(X = 5) ≈ 0,1008. Modus ist ⌊λ⌋ (oder λ und λ − 1 bei ganzzahligem λ). Die Verteilungsfunktion F(k) = Σ_{i=0}^{k} λ^i · e^(−λ) / i! hat keine geschlossene elementare Form, wird als Partialsumme berechnet.

Mittelwert und Varianz

Charakteristisches Merkmal: E[X] = Var(X) = λ. Standardabweichung σ = √λ. Beispiel: Callcenter mit λ = 100 Anrufe/Stunde → μ = 100, σ = 10. Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist Poisson für große λ (typisch ≥ 20) annähernd normalverteilt: X ≈ N(λ, λ). Der Dispersionsfaktor Var/μ = 1 ist ein Modelldiagnose-Test: zeigen Daten Var/μ signifikant ungleich 1, ist Poisson ungeeignet (Über-/Unterdispersion). Alternative: negative Binomialverteilung.

Poisson-Prozess

Ein Poisson-Prozess ist eine zeitliche Ereignisfolge mit konstanter Rate. Eigenschaften: (

  • die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge t ist Poisson-verteilt mit Mittelwert λ·t; (
  • die Zeiten zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen sind exponentialverteilt mit Mittelwert 1/λ; (
  • bei bekannter Gesamtzahl n in [0, T] sind die Positionen gleichverteilt auf [0, T]. Grundlage der Warteschlangentheorie (M/M/1, M/M/c) für die Auslegung von Callcentern, Netzen, IT-Systemen

Poisson ↔ Binomial-Approximation

Für B(n, p) mit großem n und kleinem p (typisch n ≥ 20, p ≤ 0,05, np ≤ 10): B(n, p) ≈ Poisson(λ = np). Beispiel: genau 2 Gewinne in 1000 Ziehungen mit p = 0,005: exakt B(1000, 0,005) vs Poisson(5): P(X = 2)_Binom ≈ 0,0841; P(X = 2)_Poisson ≈ 0,0842. Vernachlässigbarer Fehler. Die Approximation vermeidet die Berechnung großer Binomialkoeffizienten.

Praktische Anwendungen

Versicherungen: Schadenanzahl in einem Portfolio. Biologie: Bakterienkolonien, Mutationsereignisse. Physik: radioaktiver Zerfall (λ = Aktivität), Photonendetektion, Geiger-Zählereignisse. Informatik: Paketverluste, HTTP-Anfragen pro Sekunde. Qualitätskontrolle: Mängel pro Einheit. Finanzen: Sprünge in stochastischen Modellen für Optionen. Epidemiologie: Fallzahlen seltener Krankheiten. Sport: Poisson-Modell für Fußballtore — Basis der meisten Wett-Systeme.

Verwandte Verteilungen

  • Exponentialverteilung: Zeiten zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess. Dichte: λe^(−λt). Gedächtnislos.
  • Gammaverteilung: Wartezeit für k Ereignisse. Summe von k Exponentialen.
  • Negative Binomialverteilung: Verallgemeinerung bei Überdispersion (Varianz > Mittelwert).
  • Zero-Inflated Poisson: Überschuss an Nullen.
  • Zusammengesetzte Poisson-Verteilung: Summe von Beträgen über einer zufälligen Anzahl (z.B. Versicherungsansprüche).

Bedienung

Vier Modi: exakte Wahrscheinlichkeit (λ, k → P(X = k)); kumulativ (λ, k → P(X ≤ k), P(X ≥ k), P(X > k), P(X < k)); Intervall (λ, a, b → P(a ≤ X ≤ b)); Mittelwert und Varianz (λ → μ, σ², σ, Modus). Log-Raum-Berechnung für großes k (vermeidet Fakultätsüberlauf), Normal-Approximation für λ ≥ 100.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Poisson-Verteilung?

Es ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeit- oder Rauminterval beschreibt, wenn die Ereignisse unabhängig sind und mit konstanter mittlerer Rate λ auftreten. Die Formel ist P(X=k) = λ^k·e^(−λ)/k!. Sie modelliert seltene Ereignisse.

Wie berechnet man eine Poisson-Wahrscheinlichkeit?

Mit der Formel P(X=k) = λ^k·e^(−λ)/k!, wobei λ die mittlere Ereigniszahl und k die spezifische Zahl ist. Zum Beispiel: erhält eine Vermittlung im Schnitt 3 Anrufe pro Minute (λ=3), ist die Wahrscheinlichkeit für genau 5: 3⁵·e⁻³/5! ≈ 0,101, etwa 10%.

Warum sind Mittelwert und Varianz bei Poisson gleich?

Es ist die charakteristische Eigenschaft der Poisson-Verteilung: sowohl der Erwartungswert E[X] als auch die Varianz Var(X) betragen λ. Die Standardabweichung ist somit √λ. Das bedeutet, dass ein einziger Parameter, λ, die Verteilung vollständig festlegt, was ihren praktischen Einsatz stark vereinfacht.

Wann verwendet man die Poisson-Verteilung?

Wenn man die Anzahl seltener, unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall zählt: Anrufe bei einem Callcenter, radioaktive Zerfälle, Tippfehler pro Seite, Versicherungsschäden, Kundenankünfte. Die Ereignisse müssen unabhängig sein und mit konstanter mittlerer Rate auftreten.

Welche Beziehung besteht zur Binomialverteilung?

Die Poisson-Verteilung ist der Grenzfall der Binomialverteilung, wenn die Anzahl der Versuche n gegen unendlich und die Wahrscheinlichkeit p gegen null geht, wobei das Produkt np = λ konstant bleibt. Daher nähert sie die Binomiale gut an, wenn n groß und p klein ist, und vereinfacht Berechnungen seltener Ereignisse.

Was stellt der Parameter λ dar?

λ (Lambda) ist die mittlere erwartete Ereigniszahl im betrachteten Intervall. Es ist der einzige Parameter der Verteilung und bestimmt vollständig ihre Form: kleine Werte ergeben rechtsschiefe Verteilungen, während sich die Poisson-Verteilung für großes λ einer Normalverteilung nähert.

Wofür wird die Poisson-Verteilung verwendet?

Sie dient in der Warteschlangentheorie (Dimensionierung von Callcentern und Servern), in der Physik für die Zählstatistik radioaktiver Zerfälle, in der Versicherung, in der Biologie für Mutationen, in der Telekommunikation für den Netzverkehr und in jeder Analyse seltener Ereignisse.

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