Distribución de Poisson

La distribución de Poisson (Siméon Poisson, 1837) modela el número X de eventos en un intervalo fijo cuando: eventos independientes, tasa media λ constante, sin simultaneidad. P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!, con λ > 0 y k = 0, 1, 2, ...

Cuándo usar

Límite de la binomial para n grande y p pequeña con np finito. Eventos raros: llamadas, clientes, decaimientos radiactivos, mutaciones, erratas, detección de fotones.

Función de masa

λ = 3: P(

• = 0,0498; P(
• = 0,1494; P(
• = P(
• = 0,2240 (máximo); P(

5) = 0,1008. Moda ⌊λ⌋. CDF suma parcial.

Media y varianza

E[X] = Var(X) = λ. σ = √λ. Test diagnóstico: Var/μ = 1. Si no, alternativa binomial negativa.

Proceso de Poisson

Eventos a tasa λ constante. Conteo en t ~ Poisson(λt); tiempos entre eventos ~ exponencial(1/λ). Base de la teoría de colas M/M/1.

Aproximación Poisson ↔ binomial

B(n, p) con n ≥ 20, p ≤ 0,05, np ≤ 10 ≈ Poisson(np). Ej. 2 éxitos en 1000 tiradas, p = 0,005: P(X=2)_binom = 0,0841; Poisson(5): 0,0842.

Aplicaciones

Seguros (siniestros), biología (bacterias, mutaciones), física (radiactividad, fotones), informática (paquetes perdidos, requests), calidad (defectos), deportes (goles), epidemiología.

Distribuciones relacionadas

• Exponencial: tiempos entre eventos.
• Gamma: tiempo para k eventos.
• Binomial negativa: sobredispersión.
• Zero-inflated Poisson: exceso de ceros.

Casos prácticos

Centralita con λ = 100 llamadas/hora: P(X=110) ≈ 0,0304; P(X≤90) ≈ 0,1714. Detector de fotones λ = 5 fotones/s: P(X=0) = e⁻⁵ ≈ 0,0067; P(X≥10) ≈ 0,0318. Goles medios por partido de fútbol λ = 2,6: P(0 goles) = 0,0743, P(≥3) ≈ 0,482. Insectos por hoja λ = 0,3: prácticamente todas las hojas tienen 0 o 1 insecto.

Cómo usar

Cuatro modos: probabilidad exacta (λ, k → P(X = k)); acumulada (λ, k → P(X ≤ k), P(X ≥ k), P(X > k), P(X < k)); intervalo (λ, a, b → P(a ≤ X ≤ b)); media y varianza (λ → μ, σ², σ, moda). Cálculo logarítmico para k grande (evita overflow del factorial); aproximación normal para λ ≥ 100.

La distribución de Poisson: modelar eventos raros

La distribución de Poisson describe el número de veces que ocurre un evento en un intervalo fijo de tiempo o espacio, cuando los eventos son independientes y suceden a una tasa media constante λ. Su fórmula es P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!. La propiedad más característica es que la media es igual a la varianza, ambas iguales a λ: por eso basta un único parámetro para definir toda la distribución, y la desviación típica es √λ. Fue formulada por el matemático francés Siméon Denis Poisson en 1837 en sus investigaciones sobre la probabilidad en los juicios. El ejemplo histórico más célebre lo dio Ladislaus Bortkiewicz en 1898, que aplicó la distribución al número de soldados prusianos muertos por coces de caballo: un caso raro que se ajustaba con notable precisión. La distribución de Poisson es el límite de la binomial cuando el número de ensayos crece y la probabilidad individual tiende a cero, manteniendo np = λ constante.

Aplicaciones: de las colas a la radiactividad

La distribución de Poisson es omnipresente donde se cuentan eventos raros. En la teoría de colas modela las llamadas a un centro de atención o los clientes que llegan a una caja, base del dimensionamiento de servidores y cajeros. En física, describe el número de desintegraciones radiactivas detectadas en un intervalo, fundamento de la estadística de conteo en los detectores. Otros ejemplos incluyen las erratas por página en un libro, los siniestros que recibe una aseguradora, los paquetes que llegan a un router de red, las mutaciones en una secuencia de ADN y los defectos en una línea de producción. Está estrechamente ligada a la distribución exponencial, que describe el tiempo entre eventos sucesivos: si los eventos siguen Poisson, los intervalos entre ellos son exponenciales. Esta dualidad es el corazón de los procesos de Poisson, esenciales en la teoría de la probabilidad moderna.

Actualizado a julio de 2026