Ljung-Box-Q-Test-Rechner Residuen-Autokorrelation ARMA

Der Ljung-Box-Q-Test-Rechner prüft das Vorhandensein mehrfacher Autokorrelation in den Residuen eines ARMA- oder GARCH-Modells, gemäß der Formulierung von Greta M. Ljung und George E. P. Box veröffentlicht in Biometrika Bd. 65 Nr. 2 (1978) S. 297-303 "On a measure of lack of fit in time series models", einer Verbesserung des früheren Box-Pierce-Tests 1970 (JASA 65, 1509-1526) mit Korrektur für kleine Stichproben. Die Portmanteau-Test-Formel: Q = n · (n + 2) · Σ_{k=1}^{h} ρ_k² / (n - k), wobei n = Stichprobengröße, h = Anzahl der getesteten Lags (typischerweise h = ln(n) Tsay 2010 oder h = min(20, n/4) Faustregel), ρ_k = Stichproben-Autokorrelation bei Lag k. Unter der Nullhypothese H0 keiner Autokorrelation (White-Noise-Residuen) ist die Statistik Q ~ χ²(h) Chi-Quadrat-verteilt mit h Freiheitsgraden; für ARMA(p,q)-Modelle werden die Freiheitsgrade auf χ²(h - p - q) angepasst. Kritische Werte 5%: h=10 → χ²=18,307; h=15 → χ²=24,996; h=20 → χ²=31,410. Der p-Wert = P(χ²(h) > Q) wird über die regularisierte obere unvollständige Gammafunktion Q(h/2, Q/2) mit Kettenbruchentwicklung NIST DLMF 8.9.2 berechnet.

Die Entscheidung: wenn Q > χ²_kritisch beim Niveau α wird H0 abgelehnt (Residuen autokorreliert, Modell unzureichend, ARMA durch Erhöhung von p oder q neu spezifizieren); wenn Q ≤ χ²_kritisch wird H0 nicht abgelehnt (Residuen White Noise, Modell adäquat Box-Jenkins-Methodologie). Die 5 Hauptanwendungen:

• Diagnostic Checking Residuen ARMA(p,q)/ARIMA(p,d,q) Box-Jenkins (vierteljährliches BIP ISTAT, monatliche Inflation NIC FOI HICP, M2 monetär Banca d'Italia 1893, Industrieproduktion)
• Volatility-Clustering-Test Finanzrenditen (Q-Test auf standardisierte quadrierte Residuen GARCH(1,1) Engle 1982 ARCH + Bollerslev 1986 GARCH für BTP 10Y Banca d'Italia + FTSE MIB Borsa Italiana → Euronext Milan 2021)
• Basel-III-Risk-Management italienische Banken Intesa Sanpaolo, UniCredit, Banco BPM, BPER, MPS — VaR-Backtesting EBA + Banca d'Italia Aufsicht
• Italienisches Asset Management Anima, Eurizon (Intesa), Mediolanum, Azimut, Generali Investments — Multi-Faktor-Modelle Fama-French + Momentum
• Hochfrequenz-Algorithmushandel Borsa Italiana → Euronext Milan + IDEM FTSE-MIB-Derivate Futures. Die spezifischen italienischen Anwendungen:

• Banca d'Italia 1893 Forschungsabteilung Rom Via Nazionale makroökonometrische Modelle DSGE-IT + BEMOD + IGEM Quarterly Italian Model BIP-Inflations-M2-EZB-Zins-Prognosen 2,5% (2026)
• ISTAT 1926 Rom 4.500 Mitarbeiter — demografische Zeitreihen, NIC nationaler Verbraucherpreisindex, FOI HICP harmonisiert Eurostat, X-13ARIMA-SEATS Saisonbereinigung
• Bocconi-Universität Mailand 1902 Mario Forni Dynamic Factor Models + Marco Lippi + Lucrezia Reichlin empirische Ökonometrie
• Universität Bologna 1088 Alma Mater + Katholische Sacro Cuore Mailand 1921
• Polytechnikum Mailand 1863 + Polytechnikum Turin 1859
• SISSA Triest 1978 + ICTP Triest Data Science
• Bruno de Finetti 1931 Triest subjektive Wahrscheinlichkeit Begründer der italienischen Bayes-Schule
• IIT Genua 2003
• Cineca Bologna 1969 Marconi100 + Leonardo HPC 250 PFlops 2023
• Consob 1974 + IVASS 2012 Solvency II
• Borsa Italiana 1808 → Euronext Milan 2021 FTSE MIB 40 Blue Chips
• BTP-Renditen Banca d'Italia + MEF
• Generali Triest 1831 + Intesa Sanpaolo + UniCredit + Mediobanca
• Carlo Rubbia 1984 Nobelpreis Physik CERN + INFN Atlas/CMS Higgs MC
• PNRR Mission 4 Komponente 2 Data Science 6,9 Mrd. €

Tabelle Anwendungen Q Ljung-Box Italien

(Quelle: Ljung & Box 1978 Biometrika 65, 297-303 + Box-Pierce 1970 JASA + Box-Jenkins 1970 + Banca d'Italia 1893 + ISTAT 1926 + Borsa Italiana → Euronext Milan 2021).

Italienische Berechnungsbeispiele Q Ljung-Box

• BTP 10Y Residuen ARMA(1,1) Banca d'Italia Rom: BTP-10Y-Renditen-Reihe daily 2018-2026 n = 2.500, ARMA(1,1) (φ=0,15, θ=-0,12), Residuen ε_t. ACF Lag 1-20 alle |ρ_k| < 0,04. Q ≈ 22, df h-p-q = 18, χ²_18(0,95) = 28,87. Q=22 < 28,87 → H0 nicht ablehnen, p-Wert ≈ 0,29. ARMA(1,1) adäquat
• FTSE MIB GARCH(1,1) Bollerslev Borsa Italiana → Euronext Milan: 3.000 daily 2014-2026, GARCH(1,1) ω=10⁻⁶, α=0,08, β=0,90. Q auf Residuen ε_t/σ_t Q=15 (h=20) p=0,77 OK Mittel; Q² auf ε_t²/σ_t² Q=18 p=0,59 Volatility Clustering OK. Ohne GARCH Q²=250 p<0,001 starke Ablehnung rechtfertigt GARCH
• BIP vierteljährlich ISTAT ARIMA Box-Jenkins: BIP Italien 1996Q1-2026Q1 n=120, ARIMA(1,1,1). Q h=10 = 8 p=0,63 χ²_10=18,3 → nicht ablehnen, OK Prognosen
• Inflation NIC FOI HICP ISTAT: 1996m1-2026m4 n=360, SARIMA(1,0,1)(0,1,1)_12. Q h=12 = 14 p=0,30 nicht ablehnen. HICP 1,9% (Apr 2026 ISTAT)
• Asset Management Anima Eurizon Mediolanum Azimut Fama-French 5: Portfolio 500 Beobachtungen, Residuen Fama-French + Momentum (UMD). Q h=10 = 7 p=0,73 White Noise
• HFT Bid-Ask-Spread FTSE MIB IDEM Borsa Italiana: Tick 50.000 Beobachtungen, ARMA(0,1) Bid-Ask-Bounce Roll 1984. Q h=30 = 120 p<0,001 Microstructure Noise → notwendig VECM Kointegration
• Banca d'Italia DSGE-IT Quarterly Italian Model: Gleichungen 1980Q1-2026Q1 n=180, Residuen Q h=10 0,05 → Modell validiert Bayesian Smets-Wouters

Italienische Forschung Ökonometrie Zeitreihen

Die italienische Forschung in Zeitreihenökonometrie:

• Banca d'Italia 1893 Forschungs- und Wirtschaftsanalyseabteilung Rom Via Nazionale 7.500 Mitarbeiter, Gouverneur Fabio Panetta seit 2023 (Ex-EZB Frankfurt + Ex-IWF), makroökonometrische Modelle DSGE-IT + BEMOD + IGEM BIP-Inflations-M2-EZB-Zins-Prognosen; "Temi di Discussione" Working Papers seit 1974
• ISTAT 1926 Rom 4.500 Mitarbeiter Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung ESA 2010 Eurostat + Indizes NIC FOI HICP harmonisiert + Permanente Volkszählung + Arbeitskräfteerhebung RCFL vierteljährlich; X-13ARIMA-SEATS US Census Bureau Saisonbereinigung
• Bocconi-Universität Mailand 1902 Fakultät Wirtschaftswissenschaften IGIER Mario Forni Dynamic Factor Models + Marco Lippi Structural VAR + Lucrezia Reichlin (LBS Ex-EZB) Makroökonometrie + Carlo Favero Asset Pricing
• Universität Bologna 1088 Alma Mater Studiorum Finanzökonometrie + Katholische Universität Sacro Cuore Mailand 1921 quantitative Finanzmethoden Massimo Guidolin Regime-Switching + LUISS Rom 1974
• Polytechnikum Mailand 1863 + Polytechnikum Turin 1859 Wirtschaftsingenieurwesen quantitative Finanz Derivate
• SISSA Triest 1978 Strada Costiera 11 + ICTP Abdus Salam Internationales Zentrum Theoretische Physik Triest 1964 Data Science Statistik Machine Learning Stefano Battiston Complex Networks Finance
• Bruno de Finetti 1906-1985 Triest-Rom Sapienza subjektive Wahrscheinlichkeit Begründer der italienischen Bayes-Schule "Theory of Probability" 1970 + Repräsentationstheorem Austauschbarkeit + IRC De-Finetti-Preis
• IIT Genua 2003 Morego 1.700 Forscher Robotik KI Massimiliano Pontil + Lorenzo Rosasco Kernel-Methoden
• Cineca Bologna 1969 Marconi100 IBM Power9 30 PFlops 2018 + Leonardo HPE Pre-Exascale 250 PFlops Atos 2023 (5. TOP500 Green500) Monte-Carlo-Simulation Derivate-Pricing + DSGE Bayesian
• Consob Rom 1974 Aufsicht Finanzmärkte + IVASS Rom 2012 Solvency II EIOPA + Banca d'Italia Bankenaufsicht EBA Basel III IFRS 9 ECL Expected Credit Loss
• Borsa Italiana 1808 Mailand → Euronext Milan 2021 nach LSE-Group-Veräußerung Euronext-Fusion Post-Brexit; FTSE MIB 40 Blue Chips + IDEM Futures + MIBO Optionen
• BTP-Renditen Marginalauktion MEF + Banca d'Italia Sekundärmarkt BondVision MTS Group
• Italienische Risk-Management-Unternehmen: Generali Triest 1831 12 Mio. Kunden 50 Länder 70 Mrd. € Prämien + Intesa Sanpaolo Turin 2007 Sanpaolo IMI + Intesa BCI Fusion 22 Mio. Kunden + UniCredit Mailand 1998 14 CEE-Länder + Mediobanca Mailand 1946 Enrico Cuccia + Banco BPM 2017 + BPER Banca 1867 Modena + MPS Monte Paschi Siena 1472 älteste Bank Welt; VaR 99% 1-Tag Backtesting Expected Shortfall ES Basel III FRTB
• Carlo Rubbia 1934 Gorizia Nobelpreis Physik 1984 CERN W/Z-Bosonen SPS UA1 + INFN 1951 23 Sektionen + ATLAS/CMS LHC Higgs-Boson 5. Juli 2012 4,9-5,0σ Monte-Carlo-Validierung Chi-Quadrat-Goodness-of-Fit
• PNRR Mission 4 Komponente 2 Data-Science-Forschung 6,9 Mrd. € + F&E-Steuergutschrift Art. 1 Abs. 200 G. 160/2019 bis 25% + Patent Box G. 178/2020 50% + PIR Individuelle Sparpläne G. 232/2016 detax italienische Märkte

Aktualisiert im Juli 2026