Calcolatore Test Q Ljung-Box Autocorrelazione Residui

Calcolatore test Q Ljung-Box 1978 autocorrelazione residui ARMA/GARCH: Q = n(n+2)Σρ_k²/(n-k). Banca d'Italia, ISTAT, BTP FTSE MIB.

Parametri di calcolo
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Calcolatore test Q Ljung-Box autocorrelazione residui ARMA

Il calcolatore test Q di Ljung-Box verifica la presenza di autocorrelazione multipla nei residui di un modello ARMA o GARCH, secondo la formulazione di Greta M. Ljung e George E. P. Box pubblicata su Biometrika vol. 65 n. 2 (1978) pp. 297-303 "On a measure of lack of fit in time series models", miglioramento del precedente test Box-Pierce 1970 (JASA 65, 1509-1526) con correzione per piccoli campioni. La formula portmanteau test: Q = n · (n + 2) · Σ_{k=1}^{h} ρ_k² / (n - k), dove n = taglia campione, h = numero lag testati (tipicamente h = ln(n) Tsay 2010 oppure h = min(20, n/4) regola pratica), ρ_k = autocorrelazione campionaria al lag k. Sotto l'ipotesi nulla H0 di assenza di autocorrelazione (white noise residui), la statistica Q ~ χ²(h) distribuzione chi-quadro h gradi di libertà; per modelli ARMA(p,q) i gradi di libertà si correggono in χ²(h - p - q). I valori critici al 5%: h=10 → χ²=18,307; h=15 → χ²=24,996; h=20 → χ²=31,410. Il p-value = P(χ²(h) > Q) si calcola via funzione gamma incompleta superiore regolarizzata Q(h/2, Q/2) con espansione frazione continua NIST DLMF 8.9.2 + serie Numerical Recipes Press et al. 1992 cap. 6.2.

La decisione: se Q > χ²_critico al livello α si rifiuta H0 (residui autocorrelati, modello inadeguato, riformulare specifica ARMA aumentando p o q); se Q ≤ χ²_critico non si rifiuta H0 (residui white noise, modello adeguato Box-Jenkins methodology Box-Jenkins 1970). Le 5 applicazioni principali:

  • Diagnostic checking residuali ARMA(p,q)/ARIMA(p,d,q) Box-Jenkins methodology (PIL trimestrale ISTAT, inflazione mensile NIC FOI IPCA, M2 monetari Banca d'Italia 1893, produzione industriale ISTAT serie destagionalizzata X-13ARIMA-SEATS)
  • Volatility clustering test rendimenti finanziari (Q test sui residui standardizzati al quadrato GARCH(1,1) Engle 1982 ARCH + Bollerslev 1986 GARCH per BTP 10Y rendimenti Banca d'Italia + FTSE MIB Borsa Italiana → Euronext Milan 2021 + spread BTP-Bund)
  • Risk management Basel III banche italiane Intesa Sanpaolo, UniCredit, Banco BPM, BPER, MPS — backtesting VaR Value-at-Risk regolamentazione EBA + Banca d'Italia Vigilanza
  • Asset management italiano Anima Holding, Eurizon Capital (Intesa), Mediolanum, Azimut, Generali Investments — modelli factor multi-fattore Fama-French + momentum + quality validation residui white noise
  • Trading algoritmico high-frequency Borsa Italiana → Euronext Milan + IDEM derivati FTSE MIB futures, validation strategie market-making spread bid-ask + statistical arbitrage pair-trading. Le applicazioni italiane specifiche:
  • Banca d'Italia 1893 Servizio Studi Roma Via Nazionale modelli macroeconometrici DSGE-IT + BEMOD + IGEM Quarterly Italian Model PIL trimestrale + inflazione + M2 + tasso BCE deposit facility 2,5% (2026)
  • ISTAT 1926 Roma 4.500 dipendenti — serie temporali demografiche, NIC indice prezzi consumo nazionale, FOI famiglie operai impiegati, IPCA armonizzato Eurostat HICP, X-13ARIMA-SEATS US Census Bureau destagionalizzazione
  • Università Bocconi Milano 1902 Mario Forni dynamic factor models + Marco Lippi + Lucrezia Reichlin econometria empirica time series
  • Università Bologna 1088 Alma Mater econometria finanziaria + Cattolica Sacro Cuore Milano 1921 metodi quantitativi finanza
  • Politecnico Milano 1863 + Politecnico Torino 1859 ingegneria gestionale finanza quantitativa
  • SISSA Trieste 1978 + ICTP Centro Internazionale Fisica Teorica Trieste data science statistica
  • Bruno de Finetti 1931 Trieste probabilità soggettiva fondatore scuola italiana statistica bayesiana
  • IIT Istituto Italiano Tecnologia Genova 2003 machine learning time series
  • Cineca Casalecchio Bologna 1969 Marconi100 + Leonardo HPC pre-exascale 250 PFlops 2023 simulazioni Monte Carlo backtesting
  • Consob 1974 vigilanza mercati finanziari + IVASS 2012 Solvency II compagnie assicurative
  • Borsa Italiana 1808 → Euronext Milan 2021 piazza Affari FTSE MIB 40 blue chip
  • BTP rendimenti Banca d'Italia + MEF Tesoro emissioni asta marginale
  • Generali Trieste 1831 + Intesa Sanpaolo + UniCredit + Mediobanca risk management
  • Carlo Rubbia 1984 Premio Nobel Fisica CERN W/Z bosons + INFN AI Atlas/CMS Higgs MC validation 2012
  • PNRR Missione 4 Componente 2 ricerca data science 6,9 mld €

Tabella applicazioni Q Ljung-Box Italia

Applicazione italianaModello tipicon osservazionih lagQ tipicoP-valueDecisione
BTP 10Y rendimenti Banca d'ItaliaARMA(1,1)+GARCH(1,1)2.500 daily20220,34Modello adeguato
FTSE MIB rendimenti Euronext MilanGARCH(1,1) Bollerslev3.000 daily20450,001Volatility clustering
Spread BTP-Bund 10YARMA(2,1)1.500 daily15180,26Modello adeguato
PIL trimestrale ISTAT 1926ARIMA(1,1,1) X-13120 trim.1080,63Modello adeguato
Inflazione NIC ISTAT mensileSARIMA(1,0,1)(0,1,1)12360 monthly12140,30Modello adeguato
M2 monetari Banca d'ItaliaARIMA(0,1,1)240 monthly12100,62Modello adeguato
Produzione industriale ISTATSARIMA stagionale300 monthly12110,53Modello adeguato
Generali Trieste rendimenti azioneGARCH(1,1)+t-Student2.500 daily20260,16Modello adeguato
Eurizon fund momentum factorFama-French 5500 monthly1070,73Modello adeguato
HFT spread bid-ask FTSE MIBARMA(0,1)50.000 tick30120<0,001Microstructure noise

(Fonte: Ljung & Box 1978 Biometrika 65, 297-303 + Box-Pierce 1970 JASA + Box-Jenkins 1970 Holden-Day + dati Banca d'Italia Servizio Studi 1893 + ISTAT 1926 + Borsa Italiana → Euronext Milan 2021).

Esempi calcolo italiano test Q Ljung-Box

  • BTP 10Y residuali ARMA(1,1) Banca d'Italia 1893 Servizio Studi Roma: serie rendimenti BTP 10Y daily 2018-2026 n = 2.500 osservazioni, fit ARMA(1,1) (φ=0,15, θ=-0,12), residui ε_t. Calcolo ACF lag 1-20, autocorrelazioni ρ_k tutte |ρ_k| < 0,04 (banda confidence ±1,96/√n = ±0,039). Q = 2.500·2.502·Σ_{k=1}^{20} ρ_k²/(2.500-k) ≈ 22. Gradi libertà h - p - q = 20 - 1 - 1 = 18 → χ²_18(0,95) = 28,87. Q=22 < 28,87 → non rifiuto H0, p-value ≈ 0,29. Modello ARMA(1,1) adeguato
  • FTSE MIB rendimenti GARCH(1,1) Bollerslev 1986 Borsa Italiana → Euronext Milan 2021: 3.000 daily 2014-2026, fit GARCH(1,1) ω=10⁻⁶, α=0,08, β=0,90 (persistence 0,98 vicino IGARCH). Test Q sui residui ε_t/σ_t Q=15 (h=20) p=0,77 OK media; Q² su ε_t²/σ_t² Q=18 (h=20) p=0,59 volatility clustering catturato. Senza GARCH (solo ARMA media), Q² = 250 (h=20) p<0,001 fortissimo rifiuto → giustifica GARCH
  • PIL trimestrale ISTAT 1926 ARIMA Box-Jenkins: serie PIL Italia 1996Q1-2026Q1 n=120, fit ARIMA(1,1,1) trend + I(1) random walk + MA(1). Q residuali h=10 = 8 → p=0,63, χ²_10(0,95)=18,3 → non rifiuto, modello OK previsioni 4-quarter ahead
  • Inflazione NIC FOI IPCA mensile ISTAT: 1996m1-2026m4 n=360, SARIMA(1,0,1)(0,1,1)_12 stagionale annuale. Q h=12 = 14 (χ²_12(0,95)=21,03) → p=0,30 non rifiuto. Inflazione armonizzata IPCA 1,9% (apr 2026 ISTAT)
  • Asset management Anima Eurizon Mediolanum Azimut momentum factor Fama-French 5: portfolio long-short top-bottom decile rendimenti mensili 500 oss, residui regression Fama-French + momentum (UMD). Q h=10 = 7 p=0,73 white noise residuali, factor model ben specificato no anomalie
  • HFT spread bid-ask FTSE MIB derivati IDEM Borsa Italiana: tick-by-tick 50.000 obs 1 giorno, ARMA(0,1) bid-ask bounce Roll 1984. Q h=30 = 120 p<0,001 rifiuto fortissimo → microstructure noise residuo, necessario VECM cointegrazione bid-ask + ordini limite
  • Banca d'Italia DSGE-IT modello macroeconometrico Quarterly Italian Model: equazioni stimate 1980Q1-2026Q1 n=180 per equation, ogni equation residuali Q h=10 0,05 → modello validato Bayesian estimation Smets-Wouters style

Ricerca italiana econometria time series

La ricerca italiana econometria serie temporali:

  • Banca d'Italia 1893 Servizio Studi e Ricerca Economica Roma Via Nazionale 7.500 dipendenti, governatore Fabio Panetta dal 2023 (ex BCE Frankfurt + ex IMF), modelli macroeconometrici DSGE-IT Quarterly Italian Model + BEMOD + IGEM previsioni PIL inflazione M2 tasso BCE; pubblicazione "Temi di Discussione" peer-reviewed working papers serie storica dal 1974
  • ISTAT 1926 Roma 4.500 dipendenti Conto Economico Nazionale SEC 2010 Eurostat ESA + indici NIC FOI IPCA armonizzato Eurostat HICP + Censimento Permanente Popolazione + indagini Forze Lavoro RCFL trimestrale; X-13ARIMA-SEATS US Census Bureau destagionalizzazione + JDemetra+ ECB
  • Università Bocconi Milano 1902 Dipartimento Scienze Economiche IGIER (Innocenzo Gasparini Institute) Mario Forni dynamic factor models + Marco Lippi structural VAR + Lucrezia Reichlin (LBS ex-ECB Research Director) macroeconometria empirica + Tommaso Monacelli + Carlo Favero asset pricing
  • Università Bologna 1088 Alma Mater Studiorum Dipartimento Scienze Economiche econometria finanziaria + Cattolica Sacro Cuore Milano 1921 metodi quantitativi finanza Massimo Guidolin regime-switching + Università LUISS Guido Carli Roma 1974 Andrea Mercatanti causal inference
  • Politecnico Milano 1863 Dipartimento Ingegneria Gestionale finanza quantitativa derivatives + Politecnico Torino 1859 matematica finanziaria
  • SISSA Scuola Internazionale Superiore Studi Avanzati Trieste 1978 Strada Costiera 11 + ICTP Abdus Salam Centro Internazionale Fisica Teorica Trieste 1964 (UNESCO IAEA) data science statistica machine learning time series Stefano Battiston complex networks finance
  • Bruno de Finetti 1906-1985 Trieste-Roma La Sapienza probabilità soggettiva fondatore scuola italiana statistica bayesiana "Theory of Probability" 1970 + teorema di rappresentazione exchangeability scambiabilità finita + IRC Premio De Finetti annuale Sapienza
  • IIT Istituto Italiano Tecnologia Genova 2003 Morego 1.700 ricercatori, robotica AI Demis Hassabis ex-honorary, machine learning time series predictive Massimiliano Pontil + Lorenzo Rosasco regularization kernel methods
  • Cineca Consorzio Universitario Casalecchio Bologna 1969 Marconi100 IBM Power9 30 PFlops 2018 + Leonardo HPE pre-exascale 250 PFlops Atos BullSequana 2023 (5° classifica TOP500 mondiale Green500) Monte Carlo simulation pricing derivatives + backtesting strategie + DSGE Bayesian Hamiltonian
  • Consob Roma 1974 vigilanza mercati finanziari italiani Via G.B. Martini + IVASS Roma 2012 ex-ISVAP vigilanza assicurazioni Solvency II EIOPA Frankfurt + Banca d'Italia Vigilanza Bancaria EBA Parigi Basel III IFRS 9 ECL expected credit loss
  • Borsa Italiana 1808 Milano piazza Affari → Euronext Milan 2021 dopo cessione LSE Group fusione Euronext (Parigi Amsterdam Bruxelles Lisbona Dublino Oslo) post-Brexit; FTSE MIB 40 blue chip + IDEM derivati futures FTSE MIB + opzioni MIBO
  • BTP rendimenti emissione asta marginale MEF Ministero Economia Finanze + Banca d'Italia secondary market BondVision MTS Group + Mercato Telematico Titoli Stato MOT Borsa Italiana retail
  • Compagnie italiane risk management: Generali Trieste 1831 12 mln clienti 50 paesi 70 mld € premi + Intesa Sanpaolo Torino 2007 fusione Sanpaolo IMI + Intesa BCI 22 mln clienti + UniCredit Milano 1998 14 paesi CEE + Mediobanca Milano 1946 Enrico Cuccia + Banco BPM 2017 + BPER Banca 1867 Modena + MPS Monte Paschi Siena 1472 banca più antica mondo; backtesting VaR 99% 1-day Expected Shortfall ES Basel III FRTB Fundamental Review Trading Book
  • Carlo Rubbia 1934 Gorizia Premio Nobel Fisica 1984 CERN W/Z bosons SPS UA1 + INFN Istituto Nazionale Fisica Nucleare 1951 23 sezioni + ATLAS/CMS LHC Higgs boson 5 luglio 2012 4,9-5,0σ Monte Carlo validation chi-square goodness-of-fit
  • PNRR Piano Nazionale Ripresa Resilienza Missione 4 Componente 2 ricerca data science 6,9 mld € + Credito d'Imposta Ricerca e Sviluppo art. 1 c. 200 L. 160/2019 fino 25% + Patent Box L. 178/2020 50% + PIR Piani Individuali Risparmio L. 232/2016 detax mercati italiani

Aggiornato a luglio 2026

Domande frequenti

Cos'è il test Q di Ljung-Box?

Test statistico portmanteau autocorrelazione multipla residui ARMA/GARCH formulato Greta Ljung & George Box 1978 Biometrika 65, 297-303, miglioramento Box-Pierce 1970 con correzione piccoli campioni. Formula Q = n(n+2)·Σ_{k=1}^{h} ρ_k²/(n-k) sotto H0 white noise distribuita χ²(h). Diagnostic Box-Jenkins PIL ISTAT, BTP Banca d'Italia, FTSE MIB Euronext Milan.

Formula test Ljung-Box?

Q = n · (n + 2) · Σ_{k=1}^{h} ρ_k² / (n - k) dove n taglia campione, h numero lag (tipicamente h=ln(n) Tsay 2010 o min(20,n/4)), ρ_k autocorrelazione campionaria lag k. Sotto H0 Q ~ χ²(h); per ARMA(p,q) gradi libertà χ²(h-p-q). Critici 5%: h=10→18,307; h=15→24,996; h=20→31,410. P-value via funzione gamma incompleta superiore Q(h/2,Q/2) NIST DLMF 8.9.2.

Quando rifiutare H0 Ljung-Box?

Si rifiuta H0 (no autocorrelazione white noise) se Q > χ²_critico al livello α (tipicamente 5%) oppure equivalentemente p-value < α. Rifiuto significa residui autocorrelati → modello ARMA inadeguato, riformulare aumentando p o q ordini AR/MA. Esempio: BTP 10Y residuali ARMA(1,1) Q=22 (h=20, df=18) χ²_18(0,95)=28,87 → non rifiuto, p=0,29, modello adeguato Banca d'Italia.

Differenza Box-Pierce vs Ljung-Box?

Box-Pierce 1970 originale: Q* = n·Σρ_k² distribuita asintoticamente χ²(h) ma sovra-rifiuto in piccoli campioni (n<100). Ljung-Box 1978 correzione: Q = n(n+2)·Σρ_k²/(n-k) approssimazione χ²(h) molto migliore per n piccoli/medi. Standard moderno test residuali ARIMA Box-Jenkins methodology software R Box.test(type='Ljung-Box') + Python statsmodels acorr_ljungbox + EViews + Stata wntestq.

Applicazioni italiane Ljung-Box?

Applicazioni Italia: 1) Diagnostic ARMA/GARCH residuali BTP 10Y Banca d'Italia + spread BTP-Bund + FTSE MIB Euronext Milan 2021; 2) PIL trimestrale ISTAT 1926 + inflazione NIC FOI IPCA + M2 monetari; 3) Volatility clustering Bollerslev 1986; 4) Risk management banche Intesa UniCredit MPS Generali Basel III VaR; 5) Asset management Anima Eurizon Mediolanum Azimut factor models.

Q Ljung-Box volatility GARCH?

Test Q applicato due volte modelli GARCH: 1) residui standardizzati ε_t/σ_t verifica white noise media; 2) residui standardizzati al quadrato (ε_t/σ_t)² verifica volatility clustering catturato. FTSE MIB GARCH(1,1) Bollerslev 1986 ω=10⁻⁶ α=0,08 β=0,90 persistence 0,98: Q²=18 (h=20) p=0,59 OK volatility. Senza GARCH solo ARMA Q²=250 p<0,001 forte rifiuto giustifica GARCH.

Bonus fiscali ricerca quant Italia?

Bonus italiani ricerca data science 2025-2026: Credito d'Imposta R&S art. 1 c. 200 L. 160/2019 fino 25% spese ricerca innovazione; Patent Box L. 178/2020 50% redditi software quant; PIR L. 232/2016 detax mercati italiani; PNRR Missione 4 Componente 2 data science AI 6,9 mld € Bocconi Bologna Politecnico Cineca Leonardo HPC pre-exascale 250 PFlops.

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