F-Verteilung Fisher Rechner (ANOVA, p-Wert)

F-Verteilung Fisher-Snedecor Rechner: Dichte, CDF, kritische Werte für ANOVA one-way Test, p-Wert und Varianzverhältnis-Test mit Freiheitsgraden d1 und d2.

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Die F-Verteilung Fisher-Snedecor

Unabhängig von Snedecor (1934) und Fisher eingeführt. Verhältnis zweier unabhängiger normierter Chi-Quadrate: F = (chi^2_{d1}/d1) / (chi^2_{d2}/d2). Zwei Freiheitsgrade d1 und d2.

Dichte

f(x; d1, d2) = sqrt((d1 x)^d1 d2^d2 / (d1 x + d2)^(d1+d2)) / (x B(d1/2, d2/2)). Positiv nur x > 0. Rechtsschief.

Momente

  • Mittelwert: d2/(d2-2) für d2 > 2.
  • Modus: ((d1-2)/d1)(d2/(d2+2)) für d1 > 2.
  • Varianz: komplexe Formel für d2 > 4.
  • Reziprok: 1/X ~ F(d2, d1).
  • Grenze: F(d1, inf) -> chi^2(d1)/d1.
  • Spezial: F(1, d) = T(d)^2.

Kritische Werte

  • F_0.95(5, 20) = 2.711
  • F_0.95(10, 30) = 2.165
  • F_0.99(5, 20) = 4.103
  • F_0.99(10, 30) = 3.02

F-Test für einfaktorielle ANOVA

k Gruppen, Test H_0: mu_1 = ... = mu_k. F = MSB/MSW mit MSB zwischen Gruppen, MSW innerhalb Gruppen. Unter H_0, F ~ F(k-1, N-k). Ablehnen wenn F > F_krit.

Fünf Modi

  1. PDF.
  2. CDF.
  3. Kritischer Wert.
  4. F-Test ANOVA.
  5. Varianzverhältnis-Test.

Varianzverhältnis-Test

H_0: sigma_1^2 = sigma_2^2. F = s_max^2/s_min^2 ~ F(n_max-1, n_min-1). Zweiseitig mit alpha/2. Voraussetzung für klassischen t-Test; Welch bei unterschiedlichen Varianzen.

Beziehungen

  • T(d)^2 ~ F(1, d).
  • F(d1, inf) = chi^2(d1)/d1.
  • Beta: X*d1/(X*d1+d2) ~ Beta(d1/2, d2/2).
  • Cauchy: F(1, 1).
  • Nichtzentrale F für Teststärke.

Geschichte

Fisher (1890-1962) Vater der modernen Statistik, entwickelte ANOVA in Rothamsted 1920-40. Snedecor popularisierte F im Buch 'Statistical Methods' 1934. Standard in ANOVA, Regression, Varianztests.

Anwendungen

  • ANOVA: Mittelwertvergleich k Gruppen.
  • MANOVA: mehrere Faktoren.
  • Regression: globaler Signifikanztest R^2.
  • ANCOVA: Faktoren und Kovariaten.
  • Varianzhomogenität: Bartlett, Levene.
  • DOE: faktorielle Pläne.

Die Annahmen des F-Tests und seine Robustheit

Die Gultigkeit eines F-Tests beruht auf drei Annahmen: die Beobachtungen mussen unabhangig sein, aus normalverteilten Populationen stammen und, im Fall der ANOVA, gleiche Varianzen zwischen den Gruppen aufweisen (Homoskedastizitat). Die einfaktorielle ANOVA ist dank des zentralen Grenzwertsatzes gegenuber maessigen Verletzungen der Normalitat einigermassen robust, besonders bei grossen ausgeglichenen Gruppen. Der F-Test zum Vergleich zweier Varianzen ist dagegen bekanntlich empfindlich gegen Nicht-Normalitat: schon kleine Abweichungen konnen die Falsch-Positiv-Rate aufblahen.

Deshalb bevorzugt man bei zweifelhafter Normalitat robustere Alternativen: den Levene- oder Bartlett-Test fur die Varianzhomogenitat und die Welch-Version der ANOVA, wenn sich die Varianzen unterscheiden. Die Annahmen vor der Interpretation des p-Werts zu prufen ist ein wesentlicher Schritt: ein signifikanter F, der unter Verletzung der Annahmen gewonnen wurde, kann ein Artefakt statt eines echten Effekts sein.

Nach der ANOVA: Effektstarke und Post-hoc-Tests

Ein signifikanter F-Wert besagt nur, dass nicht alle Gruppenmittelwerte gleich sind, gibt aber nicht an, welche Gruppen sich unterscheiden noch wie gross der Unterschied ist. Um die erste Frage zu beantworten, braucht man Post-hoc-Tests wie Tukeys HSD oder die Bonferroni-Korrektur, die Gruppenpaare vergleichen und dabei die Inflation des Fehlers erster Art durch multiple Vergleiche kontrollieren.

Um die Grosse des Effekts zu quantifizieren, berichtet man statt des p-Werts allein Masse wie Eta-Quadrat (eta^2), den Anteil der von den Gruppen erklarten Gesamtvarianz, oder Omega-Quadrat (omega^2), eine weniger verzerrte Schatzung. Ein Effekt kann statistisch signifikant, in der Praxis aber vernachlassigbar sein, besonders bei grossen Stichproben: deshalb empfiehlt die moderne statistische Praxis, die Effektstarke stets neben dem p-Wert und dem Konfidenzintervall anzugeben.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Fisher-Snedecor-F-Verteilung?

Es ist die Verteilung des Verhaltnisses zweier unabhangiger Chi-Quadrat-Variablen, jede geteilt durch ihre eigenen Freiheitsgrade. Sie hangt von zwei Parametern d1 und d2 ab (Zahler- und Nennerfreiheitsgrade) und liegt der ANOVA und den Varianzverhaltnis-Tests zugrunde.

Wozu dient der F-Test?

Er dient hauptsachlich dem Vergleich von Varianzen und dem Test der Gleichheit mehrerer Mittelwerte mittels ANOVA. Er vergleicht die Variabilitat zwischen Gruppen mit der innerhalb der Gruppen: ubersteigt das F-Verhaltnis den kritischen Wert, unterscheidet sich mindestens ein Mittelwert statistisch signifikant von den ubrigen.

Wie liest man die Freiheitsgrade d1 und d2?

d1 ist die Zahl der Zahlerfreiheitsgrade (in der ANOVA Gruppenzahl minus eins, k-1) und d2 die der Nennerfreiheitsgrade (Gesamtbeobachtungen minus Gruppenzahl, N-k). Die Form der Verteilung hangt von beiden ab: mit wachsendem d2 konzentriert sich die Verteilung und die Flanke verkurzt sich.

Was ist der kritische F-Wert?

Es ist der Schwellenwert, uber dem die Nullhypothese bei gegebenem Niveau alpha verworfen wird. Zum Beispiel F_0,95(5, 20) = 2,711: ubersteigt die beobachtete F-Statistik 2,711, verwirft man H_0 bei 5%. Der Rechner erhalt ihn durch Invertieren der Verteilungsfunktion mittels Binarsuche.

Was ist die einfaktorielle ANOVA?

Es ist die einfaktorielle Varianzanalyse, die die Hypothese H_0: mu_1 = mu_2 = ... = mu_k testet, dass alle k Gruppenmittelwerte gleich sind. Sie vergleicht die Varianz zwischen Gruppen (MSB) mit der innerhalb der Gruppen (MSW): die Statistik F = MSB/MSW folgt unter H_0 einer F-Verteilung.

Welche Annahmen erfordert der F-Test?

Er erfordert unabhangige Beobachtungen, normalverteilte Populationen und, fur die ANOVA, gleiche Varianzen zwischen den Gruppen. Die ANOVA ist bei ausgeglichenen Gruppen gegenuber leichten Abweichungen von der Normalitat recht robust, doch der F-Test uber das Varianzverhaltnis ist sehr empfindlich gegen Nicht-Normalitat.

Was tun nach einem signifikanten F?

Ein signifikanter F zeigt nur, dass nicht alle Mittelwerte gleich sind. Um zu erfahren, welche Gruppen sich unterscheiden, verwendet man Post-hoc-Tests wie Tukeys HSD oder Bonferroni, und zur Quantifizierung des Effekts berichtet man Masse wie Eta-Quadrat oder Omega-Quadrat neben dem p-Wert.

Welche Beziehung besteht zur t-Verteilung?

Die F-Verteilung mit 1 Zahlerfreiheitsgrad stimmt mit dem Quadrat der t-Verteilung uberein: F(1, d2) = t(d2)^2. Dies verbindet den F-Test mit Students t-Test und zeigt, dass der Vergleich zweier Mittelwerte ein Sonderfall der ANOVA ist.

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