Beta-Verteilung-Rechner (Alpha, Beta, Bayessch)

Beta-Verteilung-Rechner (alpha, beta): PDF, CDF, Momente, Bayessches Posterior für Binomial (konjugiert), regularisierte unvollständige Beta I_x(a, b).

Berechnungsparameter
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Beta-Verteilung: Definition

Stetig zwei Parameter (alpha > 0, beta > 0) auf [0, 1]. Konjugierte der Binomialverteilung. Fundamental in Bayesscher Statistik.

PDF: f(x) = x^(a-1)(1-x)^(b-1) / B(a, b).

CDF: F(x) = I_x(a, b) regularisierte unvollständige Beta.

Beispiel

Beta(2, 5): Mittel 0.286, Varianz 0.0255, Modus 0.2. P(X<=0.3) = 0.580.

Typische Formen

  • Beta(1, 1) Gleichverteilung.
  • Beta(0.5, 0.5) U-Form Jeffreys.
  • Beta(2, 2) symmetrische Glocke.
  • Beta(2, 5) rechtsschief.
  • Beta(5, 2) linksschief.
  • Beta(gross) tendiert zu normal.

Momente

  • Mittelwert: a/(a+b).
  • Varianz: ab/((a+b)^2 (a+b+1)).
  • Modus: (a-1)/(a+b-2) für a, b > 1.
  • Schiefe: 2(b-a)sqrt(a+b+1)/((a+b+2)sqrt(ab)).

Unvollständige Beta

F(x) = I_x(a, b). Kettenbruch direkt oder Symmetrie. Verbindung Binomial: I_p(k, n-k+1) = P(Bin >= k).

Bayessche Konjugierte

Prior Beta(a, b) + Binomial (s, f) -> Posterior Beta(a+s, b+f). Konjugiert. Posterior-Mittel (a+s)/(a+b+n). Beta(1,1) Laplace.

Bayessches Beispiel

7/10 Patienten reagieren. Prior Beta(1,1). Posterior Beta(8, 4). Mittel 0.667. 95%-CI: [0.401, 0.879].

Verbindungen

  • Gleichverteilung(0,1) = Beta(1,1).
  • Arc-sine = Beta(0.5, 0.5).
  • Binomial-CDF.
  • F-Verteilung.
  • Aus Gamma.
  • Dirichlet multivariat.

Schätzung

MdM: a = x_bar(x_bar(1-x_bar)/s^2 - 1). MLE Digamma Newton-Raphson.

Anwendungen

  • Bayessch binomial konjugiert.
  • A/B-Testing.
  • PERT-Projekte.
  • Zuverlässigkeit.
  • ML Bandits.
  • Genetik Allele.
  • Finanzwesen.
  • Beta-Binomial Überdispersion.

PERT

Beta 4-parametrig (min, max, Modus, lambda). Y = (X-min)/(max-min) ~ Beta. Standard lambda = 4.

Geschichte

Pearson (1893-1900). Bayes (1763). Laplace (1812). Jeffreys (1946). Lindley (1958) Konjugation.

Rechnermodi

Vier: PDF, CDF, Momente, Bayessches Posterior Binomial.

Anteile und Wahrscheinlichkeiten modellieren

Weil sie ganz auf dem Intervall von null bis eins lebt, ist die Beta-Verteilung das naturliche Modell fur jede Grosse, die selbst ein Anteil oder eine Wahrscheinlichkeit ist. Ein Schlagdurchschnitt, die Klickrate einer Website, der Anteil defekter Teile an einer Linie, die Konversionsrate einer Werbekampagne: jedes ist eine Zahl zwischen null und eins, deren Unsicherheit die Beta elegant erfasst. Ihre beiden Parameter haben eine ansprechende Deutung als Pseudo-Zahlungen, alpha verhalt sich wie eine Zahlung der Erfolge und beta wie eine der Misserfolge, sodass der Mittelwert, alpha durch alpha plus beta, als beobachteter Erfolgsanteil gelesen wird.

Dieses Pseudo-Zahlungs-Bild macht die Beta zum Motor des Online-Experimentierens. Beim A/B-Testing erhalt die unbekannte Konversionsrate jeder Variante eine Beta-Verteilung, die breit beginnt und sich mit eintreffenden Daten verengt, ein Erfolg erhoht alpha und ein Misserfolg beta. Thompson-Sampling, eine beliebte Strategie fur mehrarmige Banditen, zieht einen Zufallswert aus der aktuellen Beta jeder Variante und zeigt den Gewinner, wobei es Exploration und Ausnutzung automatisch ausbalanciert. Dieselbe Uberlegung liegt Zuverlassigkeitsschatzungen, Klickmodellen und jedem Kontext zugrunde, in dem eine Rate aus einem Strom von Ja-oder-Nein-Ergebnissen gelernt werden muss.

Ordnungsstatistiken, die Gleichverteilung und die Beta-Binomial-Familie

Die Beta-Verteilung entspringt auch einer rein kombinatorischen Quelle: den Ordnungsstatistiken einer gleichverteilten Stichprobe. Zieht man n unabhangige Punkte gleichverteilt auf dem Intervall und sortiert sie, folgt der k-kleinste einer Beta-Verteilung mit den Parametern k und n minus k plus eins. Deshalb ist die Gleichverteilung genau Beta(1,1), der flache Spezialfall, und deshalb erscheint die Beta, wann immer man die Position geordneter Werte untersucht, vom Median einer Stichprobe bis zu den in der Risikoanalyse genutzten Extremen.

Die Verknupfung der Beta mit einer Binomialverteilung ergibt ein weiteres wichtiges Objekt, die Beta-Binomial-Verteilung. Wo eine gewohnliche Binomialverteilung eine einzige feste Erfolgswahrscheinlichkeit annimmt, lasst die Beta-Binomial diese Wahrscheinlichkeit selbst nach einem Beta-Gesetz variieren und erzeugt eine zusatzliche Streuung, bekannt als Uberdispersion. Dies modelliert Zahldaten, die sich starker haufen, als eine schlichte Binomialverteilung vorhersagt, etwa die Zahl keimender Samen uber Chargen oder defekter Artikel uber Produktionslose. Die Beta-Binomial ist die Randverteilung, die man durch Integration einer Binomial-Likelihood gegen ihren konjugierten Beta-Prior erhalt, was diese kombinatorische Sicht sauber mit der bayesschen verbindet.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Beta-Verteilung?

Es ist eine stetige Zwei-Parameter-Verteilung, alpha > 0 und beta > 0, definiert auf dem Intervall [0, 1]. Ihre Dichte ist f(x) = x^(alpha-1)(1-x)^(beta-1) / B(alpha, beta), wobei B die Beta-Funktion ist. Sie ist die Referenzverteilung fur Anteile und Wahrscheinlichkeiten und die Konjugierte der Binomial- und Bernoulli-Verteilung.

Was stellen die Parameter alpha und beta dar?

Sie legen die Form der Kurve auf [0, 1] fest und werden als Pseudo-Zahlungen gedeutet: alpha als Zahl der Erfolge und beta als Zahl der Misserfolge. Der Mittelwert ist alpha/(alpha+beta). Ist alpha = beta, ist die Verteilung symmetrisch um 0,5; ist alpha > beta, verschiebt sie sich nach rechts, ist alpha < beta, nach links.

Wie berechnet man Mittelwert, Varianz und Modus?

Der Mittelwert ist alpha/(alpha+beta), die Varianz alpha*beta/((alpha+beta)^2 (alpha+beta+1)). Der Modus, wenn alpha>1 und beta>1, ist (alpha-1)/(alpha+beta-2). Die Schiefe ist 2(beta-alpha)Wurzel(alpha+beta+1)/((alpha+beta+2)Wurzel(alpha*beta)) und nimmt mit wachsenden Parametern ab.

Warum ist die Beta die Konjugierte der Binomialverteilung?

Weil ihre funktionale Form, ein Produkt von Potenzen von x und von (1-x), mit der Binomial-Likelihood ubereinstimmt. Ausgehend von einem Beta(alpha, beta)-Prior und der Beobachtung von s Erfolgen und f Misserfolgen ist der Posterior wieder eine Beta: Beta(alpha+s, beta+f). Diese analytische Aktualisierung ist die Basis der bayesschen Inferenz fur Wahrscheinlichkeiten.

Was ist die regularisierte unvollstandige Beta?

Es ist die Verteilungsfunktion der Beta: F(x) = I_x(alpha, beta). Sie stellt die Flache unter der Dichte bis x dar und hat keine elementare Form, wird also numerisch mit einem Kettenbruch berechnet. Es ist dieselbe Funktion, die fur die Rander der Student-t- und Fisher-F-Verteilung verwendet wird.

Was ist Thompson-Sampling?

Es ist eine Strategie fur Mehrarmige-Banditen-Probleme: jeder Variante wird eine Beta-Verteilung ihrer Erfolgswahrscheinlichkeit zugeordnet, man zieht aus jeder einen Zufallswert und wahlt die Variante mit dem hochsten Wert. Jedes Ergebnis aktualisiert die zugehorige Beta. Es balanciert Exploration und Ausnutzung automatisch und wird im A/B-Testing genutzt.

Welche Beziehung besteht zur Gleichverteilung?

Die Gleichverteilung auf [0, 1] ist der Spezialfall Beta(1, 1) mit konstanter Dichte. Zudem beschreibt die Beta die Ordnungsstatistiken gleichverteilter Stichproben: der k-kleinste von n gleichverteilten Punkten folgt Beta(k, n-k+1). Deshalb erscheint die Beta naturlich beim Studium geordneter Werte.

Wo wird die Beta-Verteilung verwendet?

In der bayesschen Statistik als konjugierter Prior der Wahrscheinlichkeiten, im A/B-Testing und Thompson-Sampling, im Projektmanagement mit der PERT-Schatzung von Dauern, beim Modellieren von Konversionsraten, Defektanteilen und Sportmittelwerten, und als Basis der Ordnungsstatistiken und der Beta-Binomial-Verteilung fur uberdisperse Daten.

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