Calculatrice Distribution Beta (Alpha, Beta, Bayesien)

Calculatrice distribution Beta(alpha, beta): PDF, CDF, moments, posterior bayesien pour binomiale (conjuguee), beta incomplete regularisee I_x(a, b) PERT.

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Distribution Beta: définition

Continue deux paramètres (alpha > 0, beta > 0) sur [0, 1]. Conjuguee de binomiale. Fondamentale en bayesien.

PDF: f(x) = x^(a-1)(1-x)^(b-1) / B(a, b).

CDF: F(x) = I_x(a, b) beta incomplete regularisee.

Exemple

Beta(2, 5): moyenne 0.286, variance 0.0255, mode 0.2. P(X<=0.3) = 0.580.

Formes typiques

  • Beta(1, 1) uniforme.
  • Beta(0.5, 0.5) U Jeffreys.
  • Beta(2, 2) cloche symétrique.
  • Beta(2, 5) asymetrique droite.
  • Beta(5, 2) asymetrique gauche.
  • Beta(grands) tend vers normale.

Moments

  • Moyenne: a/(a+b).
  • Variance: ab/((a+b)^2 (a+b+1)).
  • Mode: (a-1)/(a+b-2) si a, b > 1.
  • Asymetrie: 2(b-a)sqrt(a+b+1)/((a+b+2)sqrt(ab)).

Beta incomplete

F(x) = I_x(a, b). Fraction continue ou symétrie. Lien binomiale: I_p(k, n-k+1) = P(Bin >= k).

Bayesien conjuguee

Prior Beta(a, b) + binomiale (s, f) -> Posterior Beta(a+s, b+f). Conjuguee. Moyenne posterior (a+s)/(a+b+n). Beta(1,1) Laplace.

Exemple bayesien

7/10 patients repondent. Prior Beta(1,1). Posterior Beta(8, 4). Moyenne 0.667. IC 95%: [0.401, 0.879].

Connexions

  • Uniforme(0,1) = Beta(1,1).
  • Arcsine = Beta(0.5, 0.5).
  • CDF binomiale.
  • F-distribution.
  • Depuis Gamma.
  • Dirichlet multivariee.

Estimation

MdM: a = x_bar(x_bar(1-x_bar)/s^2 - 1). MLE digamma Newton-Raphson.

Applications

  • Bayesien binomial conjuguee.
  • A/B testing.
  • PERT projets.
  • Fiabilite.
  • ML Bandits.
  • Genetique alleles.
  • Finance.
  • Beta-Binomial overdispersion.

PERT

Beta 4 paramètres (min, max, mode, lambda). Y = (X-min)/(max-min) ~ Beta. lambda standard 4.

Histoire

Pearson (1893-1900). Bayes (1763) inference. Laplace (1812). Jeffreys (1946). Lindley (1958) conjugaison.

Modes calculatrice

Quatre: PDF, CDF, moments, Bayesien posterior binomial.

Modeliser des proportions et des probabilites

Parce qu'elle vit entierement sur l'intervalle de zero a un, la distribution beta est le modele naturel de toute grandeur qui est elle-meme une proportion ou une probabilite. Une moyenne au baton, le taux de clic d'un site web, la fraction de pieces defectueuses sur une ligne, le taux de conversion d'une campagne publicitaire : chacun est un nombre entre zero et un dont la beta capture gracieusement l'incertitude. Ses deux parametres ont une interpretation attrayante comme pseudo-comptes, alpha se comportant comme un decompte de succes et beta comme un decompte d'echecs, de sorte que la moyenne, alpha sur alpha plus beta, se lit comme la fraction de succes observee.

Cette image de pseudo-comptes est ce qui fait de la beta le moteur de l'experimentation en ligne. Dans les tests A/B, le taux de conversion inconnu de chaque variante recoit une distribution beta qui commence large et se resserre a mesure que les donnees arrivent, un succes incrementant alpha et un echec incrementant beta. L'echantillonnage de Thompson, une strategie populaire pour les bandits a plusieurs bras, tire une valeur aleatoire de la beta courante de chaque variante et montre le gagnant, equilibrant automatiquement exploration et exploitation. Le meme raisonnement sous-tend les estimations de fiabilite, les modeles de clic et tout contexte ou un taux doit etre appris a partir d'un flux de resultats oui ou non.

Statistiques d'ordre, l'uniforme et la famille beta-binomiale

La distribution beta emerge aussi d'une source purement combinatoire : les statistiques d'ordre d'un echantillon uniforme. Si l'on tire n points independants uniformement sur l'intervalle et qu'on les trie, le k-ieme plus petit suit une distribution beta de parametres k et n moins k plus un. C'est pourquoi la distribution uniforme est exactement Beta(1,1), le cas special plat, et pourquoi la beta apparait des que l'on etudie la position de valeurs ordonnees, de la mediane d'un echantillon aux extremes utilises dans l'analyse de risque.

Composer la beta avec une binomiale donne un autre objet important, la distribution beta-binomiale. La ou une binomiale ordinaire suppose une unique probabilite de succes fixe, la beta-binomiale laisse cette probabilite varier selon une loi beta, produisant une dispersion supplementaire dite surdispersion. Cela modelise des donnees de comptage qui s'agregent plus qu'une binomiale simple ne le predit, comme le nombre de graines germant entre lots ou d'articles defectueux entre series de production. La beta-binomiale est la marginale obtenue en integrant une vraisemblance binomiale contre son prior conjugue beta, ce qui relie proprement cette vision combinatoire a la vision bayesienne.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la distribution beta ?

C'est une distribution continue a deux parametres, alpha > 0 et beta > 0, definie sur l'intervalle [0, 1]. Sa densite est f(x) = x^(alpha-1)(1-x)^(beta-1) / B(alpha, beta), ou B est la fonction beta. C'est la distribution de reference pour les proportions et probabilites et la conjuguee de la binomiale et de la Bernoulli.

Que representent les parametres alpha et beta ?

Ils fixent la forme de la courbe sur [0, 1] et s'interpretent comme des pseudo-comptes : alpha comme un nombre de succes et beta comme un nombre d'echecs. La moyenne vaut alpha/(alpha+beta). Si alpha = beta la distribution est symetrique autour de 0,5 ; si alpha > beta elle se deplace a droite, si alpha < beta a gauche.

Comment calcule-t-on la moyenne, la variance et le mode ?

La moyenne est alpha/(alpha+beta), la variance alpha*beta/((alpha+beta)^2 (alpha+beta+1)). Le mode, quand alpha>1 et beta>1, est (alpha-1)/(alpha+beta-2). L'asymetrie est 2(beta-alpha)racine(alpha+beta+1)/((alpha+beta+2)racine(alpha*beta)) et decroit quand les parametres croissent.

Pourquoi la beta est-elle la conjuguee de la binomiale ?

Parce que sa forme fonctionnelle, un produit de puissances de x et de (1-x), coincide avec la vraisemblance binomiale. En partant d'un prior Beta(alpha, beta) et en observant s succes et f echecs, le posterior est de nouveau une beta : Beta(alpha+s, beta+f). Cette mise a jour analytique est la base de l'inference bayesienne pour les probabilites.

Qu'est-ce que la beta incomplete regularisee ?

C'est la fonction de repartition de la beta : F(x) = I_x(alpha, beta). Elle represente l'aire sous la densite jusqu'a x et n'a pas de forme elementaire, donc elle se calcule numeriquement avec une fraction continue. C'est la meme fonction utilisee pour les queues des lois t de Student et F de Fisher.

Qu'est-ce que l'echantillonnage de Thompson ?

C'est une strategie pour les problemes de bandit a plusieurs bras : a chaque variante on associe une distribution beta de sa probabilite de succes, on tire une valeur aleatoire de chacune et on choisit la variante a la plus haute valeur. Chaque resultat met a jour la beta correspondante. Elle equilibre automatiquement exploration et exploitation et sert dans les tests A/B.

Quelle relation avec la distribution uniforme ?

L'uniforme sur [0, 1] est le cas special Beta(1, 1), a densite constante. De plus la beta decrit les statistiques d'ordre d'echantillons uniformes : le k-ieme plus petit de n points uniformes suit Beta(k, n-k+1). C'est pourquoi la beta apparait naturellement dans l'etude de valeurs ordonnees.

Ou utilise-t-on la distribution beta ?

En statistique bayesienne comme prior conjugue des probabilites, dans les tests A/B et l'echantillonnage de Thompson, en gestion de projet avec l'estimation PERT des durees, pour modeliser des taux de conversion, des fractions de defauts et des moyennes sportives, et comme base des statistiques d'ordre et de la distribution beta-binomiale pour des donnees surdispersees.

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