Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, in der die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. Diese Differenz heißt Differenz und wird mit d bezeichnet. Formal ist {a_n} arithmetisch, wenn a_{n+1} − a_n = d für alle n ≥ 1. Beispiele: 2, 5, 8, 11, ... (d = 3); 10, 7, 4, 1, −2, ... (d = −3); 0, ½, 1, 3/2, ... (d = ½). Arithmetische Folgen sind der einfachste Fall einer linear rekursiven Folge.

Formel für das n-te Glied

Die explizite Formel lautet a_n = a_1 + (n − 1)·d, wobei a_1 das erste Glied und d die Differenz ist. Sie folgt induktiv aus der Rekursion a_{n+1} = a_n + d. Beispiel: In 7, 11, 15, 19, ... mit a_1 = 7, d = 4 ist a_{10} = 7 + 9·4 = 43.

Teilsumme S_n

Die Summe der ersten n Glieder ist S_n = n · (a_1 + a_n) / 2 = n · (2a_1 + (n − 1)·d) / 2. Das ist die Gauß-Formel: der junge Gauß soll 1 + 2 + ... + 100 durch Paarbildung berechnet haben und kam auf 5050.

Differenz aus zwei Gliedern

Bei bekannten a_m, a_k (m ≠ k): d = (a_k − a_m) / (k − m). Dann a_1 = a_m − (m − 1)·d. Beispiel: a_3 = 10, a_8 = 25 → d = 3, a_1 = 4.

Index n finden

Mit a_1 und d: n = (Zielwert − a_1)/d + 1. Ist n keine positive ganze Zahl, liegt der Wert nicht in der Folge.

Eigenschaften

• Mittelwert: a_n = (a_{n−1} + a_{n+1})/2.
• Symmetrie: a_1 + a_n = a_2 + a_{n−1} = ...
• Lineares Wachstum: der Graph n ↦ a_n ist eine Gerade.
• d < 0 fallend; d = 0 konstant.

Anwendungen

Ratenzahlungen mit festem Zuwachs, Sparpläne, Theater-Sitzreihen (10, 12, 14, ...), Treppenstufen, gleichförmige geradlinige Bewegung, aufeinanderfolgende Speicheradressen.

Bedienung

Modus wählen: n-tes Glied, Teilsumme, Differenz aus zwei Gliedern, Index finden. Dezimal- und negative Werte erlaubt. IEEE-754-Doppelpräzision.

Unterschied zur geometrischen Folge

Arithmetische Folge: konstante Differenz. Geometrische Folge: konstantes Verhältnis (a_{n+1} = a_n · q). 2, 4, 6, 8 ist arithmetisch; 2, 4, 8, 16 ist geometrisch.

Die Gauß-Anekdote und der Paarungstrick

Die Summenformel trägt den Namen von Carl Friedrich Gauß dank einer berühmten Anekdote: 1787, mit zehn Jahren, soll der spätere "Fürst der Mathematiker" die Zahlen von 1 bis 100 in Augenblicken addiert haben, indem er erstes und letztes Glied paarte (1+100, 2+99, …): fünfzig Paare zu 101, Summe 5050. Diese Paarungsidee ist genau die Formel Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2, die dieser Rechner verwendet, und bleibt eines der meistzitierten Beispiele des Mathematikunterrichts.

Arithmetische Folgen und einfacher Zins

Der einfache Zins ist eine arithmetische Progression: Ein Kapital C zum Jahreszins r erzeugt die Stände C, C+Cr, C+2Cr, … mit der Differenz d = C·r. Der Abstand zum Zinseszins — einer geometrischen Progression — wächst mit der Zeit: Nach 20 Jahren zu 5 % werden aus 10 000 € beim einfachen Zins 20 000 €, beim Zinseszins dagegen 26 533 €.

Aktualisiert im Juli 2026