Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite de nombres telle que la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence est la raison, notée d. Formellement {a_n} est arithmétique si a_{n+1} − a_n = d pour tout n ≥ 1. Exemples : 2, 5, 8, 11, ... (d = 3) ; 10, 7, 4, 1, −2, ... (d = −3) ; 0, ½, 1, 3/2, ... (d = ½).

Terme général

La formule explicite est a_n = a_1 + (n − 1)·d. Elle s'obtient par récurrence à partir de a_{n+1} = a_n + d. Exemple : pour 7, 11, 15, 19, ... avec a_1 = 7, d = 4, a_{10} = 7 + 9·4 = 43.

Somme partielle S_n

La somme des n premiers termes est S_n = n · (a_1 + a_n) / 2 = n · (2a_1 + (n − 1)·d) / 2. Formule de Gauss : il aurait sommé 1 + 2 + ... + 100 en appariant termes extrêmes, d'où 5050.

Trouver la raison

Avec deux termes a_m et a_k (m ≠ k) : d = (a_k − a_m)/(k − m). Puis a_1 = a_m − (m − 1)·d. Exemple : a_3 = 10, a_8 = 25 → d = 3, a_1 = 4.

Trouver l'indice n

Connaissant a_1 et d, pour un cible T : n = (T − a_1)/d + 1. Si n n'est pas un entier positif, T n'appartient pas à la suite.

Propriétés

• Moyenne : a_n = (a_{n−1} + a_{n+1})/2.
• Symétrie : a_1 + a_n = a_2 + a_{n−1} = ...
• Croissance linéaire : le graphe n ↦ a_n est une droite.
• d < 0 décroissante ; d = 0 constante.

Applications

Paiements échelonnés, épargne croissante, rangées de sièges, marches d'escalier, mouvement rectiligne uniforme, adresses mémoire contiguës.

Utilisation

Choisir un mode : terme n, somme partielle, raison depuis deux termes, trouver indice. Valeurs décimales et négatives acceptées.

Vs suite géométrique

Arithmétique : différence constante. Géométrique : raison multiplicative constante (a_{n+1} = a_n · q). 2, 4, 6, 8 arithmétique ; 2, 4, 8, 16 géométrique.

L'anecdote de Gauss et l'astuce de l'appariement

La formule de la somme porte le nom de Carl Friedrich Gauss grâce à une anecdote célèbre : en 1787, à dix ans, le futur « prince des mathématiciens » aurait additionné les nombres de 1 à 100 en quelques instants en appariant le premier et le dernier terme (1+100, 2+99, …) : cinquante paires de 101, total 5050. Cette idée d'appariement est exactement la formule Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2 utilisée par le calculateur, et elle reste l'un des exemples les plus cités de l'enseignement des mathématiques.

Suites arithmétiques et intérêts simples

Le régime d'intérêts simples est une progression arithmétique : un capital C au taux annuel r produit les soldes C, C+Cr, C+2Cr, … de raison d = C·r. L'écart avec les intérêts composés — une progression géométrique — se creuse avec le temps : après 20 ans à 5 %, 10 000 € deviennent 20 000 € en régime simple mais 26 533 € en régime composé.

Mis à jour en juillet 2026