Progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante. Esta diferencia se llama razón y se denota d. Formalmente {a_n} es aritmética si a_{n+1} − a_n = d para todo n ≥ 1. Ejemplos: 2, 5, 8, 11, ... (d = 3); 10, 7, 4, 1, −2, ... (d = −3); 0, ½, 1, 3/2, ... (d = ½).

Término n-ésimo

La fórmula explícita es a_n = a_1 + (n − 1)·d. Sale por inducción de la recurrencia a_{n+1} = a_n + d. Ejemplo: en 7, 11, 15, 19, ... con a_1 = 7, d = 4, el décimo término es a_{10} = 7 + 9·4 = 43.

Suma parcial S_n

La suma de los primeros n términos es S_n = n · (a_1 + a_n) / 2 = n · (2a_1 + (n − 1)·d) / 2. Es la fórmula de Gauss: se dice que Gauss, con nueve años, sumó 1 + 2 + ... + 100 emparejando términos equidistantes de los extremos, obteniendo 5050.

Hallar la razón a partir de dos términos

Si conoces a_m y a_k con m ≠ k: d = (a_k − a_m)/(k − m). El primer término: a_1 = a_m − (m − 1)·d. Ejemplo: a_3 = 10, a_8 = 25 → d = 3, a_1 = 4.

Hallar el índice n

Dado a_1 y d, para localizar un valor T: n = (T − a_1)/d + 1. Si n no es entero positivo, T no pertenece a la sucesión.

Propiedades

• Media aritmética: a_n = (a_{n−1} + a_{n+1})/2.
• Simetría: a_1 + a_n = a_2 + a_{n−1} = ...
• Crecimiento lineal: el gráfico de n ↦ a_n es una recta de pendiente d.
• d < 0 decrece; d = 0 constante.

Aplicaciones

Pagos a plazos, ahorro con incrementos fijos, filas de butacas (10, 12, 14, ...), escalones. En física describe el movimiento rectilíneo uniforme; en informática, direcciones de memoria contiguas.

Cómo usar

Elige modo: término n-ésimo, suma parcial, razón desde dos términos, encontrar índice. Introduce valores (decimales o negativos) y obtén resultado y pasos.

Vs. progresión geométrica

Aritmética: diferencia constante (a_{n+1} = a_n + d). Geométrica: razón constante (a_{n+1} = a_n · q). 2, 4, 6, 8 es aritmética; 2, 4, 8, 16 es geométrica.

La anécdota de Gauss y el truco del emparejamiento

La fórmula de la suma lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss por una anécdota célebre: en 1787, con diez años, el futuro "príncipe de los matemáticos" habría sumado los números del 1 al 100 en instantes emparejando el primero con el último (1+100, 2+99, …): cincuenta parejas de 101, total 5050. Esa idea es exactamente la fórmula Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2 que usa la calculadora.

Progresiones aritméticas e interés simple

El interés simple es una progresión aritmética: un capital C al tipo anual r produce saldos C, C+Cr, C+2Cr, … con razón d = C·r. La diferencia con el interés compuesto —una progresión geométrica— crece con el tiempo: tras 20 años al 5%, 10 000 € se convierten en 20 000 € con interés simple pero en 26 533 € con capitalización compuesta.

Actualizado a julio de 2026