La progressione aritmetica

Una progressione aritmetica (o successione aritmetica) è una sequenza di numeri in cui la differenza fra due termini consecutivi è costante. Questa differenza si chiama ragione e si indica con d. Formalmente, una successione {a_n} è aritmetica se a_{n+1} − a_n = d per ogni n ≥ 1. Esempi classici: 2, 5, 8, 11, 14, ... (d = 3); 10, 7, 4, 1, −2, ... (d = −3); 0, ½, 1, 3/2, ... (d = ½). Le progressioni aritmetiche sono il caso più semplice di successione definita per ricorrenza lineare.

Formula del termine n-esimo

Il termine di posto n si calcola con la formula esplicita a_n = a_1 + (n − 1)·d, dove a_1 è il primo termine e d la ragione. Si ricava per induzione dalla relazione ricorrente a_{n+1} = a_n + d. Esempio: nella successione 7, 11, 15, 19, ... con a_1 = 7 e d = 4, il decimo termine è a_{10} = 7 + 9·4 = 43. La formula è valida per qualsiasi n intero positivo ed è simmetrica: si può calcolare a_n conoscendo a_1 e d oppure a_1 conoscendo un termine qualunque e d.

Somma parziale S_n

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è S_n = n · (a_1 + a_n) / 2, riscrivibile come S_n = n · (2a_1 + (n − 1)·d) / 2. La formula è nota come formula di Gauss: si racconta che Gauss a nove anni sommò 1 + 2 + ... + 100 accoppiando il primo e l'ultimo termine (1+100 = 101), ottenendo 50 · 101 = 5050. Esempio: la somma di 5 + 8 + 11 + ... + 50 con a_1 = 5, d = 3, a_n = 50 ha n = (50 − 5)/3 + 1 = 16 termini, quindi S_{16} = 16 · (5 + 50)/2 = 440.

Trovare la ragione da due termini

Se conosci due termini qualsiasi a_m e a_k (con m < k) di una progressione aritmetica, la ragione è d = (a_k − a_m) / (k − m). Da qui il primo termine si ricava come a_1 = a_m − (m − 1)·d. Esempio: se a_3 = 10 e a_8 = 25, allora d = (25 − 10)/(8 − 3) = 3 e a_1 = 10 − 2·3 = 4. Questa formula è utile per ricostruire l'intera successione da due osservazioni qualsiasi.

Trovare l'indice n

Data una progressione con a_1 e d noti, per trovare la posizione n di un valore target T si usa n = (T − a_1)/d + 1. Se il risultato non è un intero positivo, T non appartiene alla successione. Esempio: nella successione 3, 7, 11, 15, ... (a_1 = 3, d = 4), vale 47 per n = (47 − 3)/4 + 1 = 12 (il 12° termine). Il valore 48 invece non appartiene perché (48 − 3)/4 = 11,25 non è intero.

Proprietà notevoli

• Media aritmetica: per ogni tre termini consecutivi a_{n−1}, a_n, a_{n+1} vale a_n = (a_{n−1} + a_{n+1}) / 2. La media aritmetica dei termini adiacenti restituisce il termine centrale.
• Simmetria: la somma di termini equidistanti dagli estremi è costante: a_1 + a_n = a_2 + a_{n−1} = ... (proprietà sfruttata da Gauss).
• Crescita lineare: il grafico di n ↦ a_n è una retta di pendenza d e intercetta a_1 − d.
• Progressione decrescente: se d < 0 la successione decresce; se d = 0 è costante.

Esempi applicativi

Le progressioni aritmetiche modellano molte situazioni pratiche: pagamenti rateali a importo fisso crescente, risparmio mensile incrementato di una quota costante, file numerate in un archivio, scalini di una scala, posti a sedere per fila in un teatro (es. 10, 12, 14, 16, ...). In fisica descrivono il moto rettilineo uniforme (spazi percorsi in tempi uguali), in informatica le sequenze di indirizzi di memoria contigui.

Come usare il calcolatore

Scegli una modalità: termine n-esimo (serve a_1, d, n → a_n); somma parziale (a_1, d, n → S_n); ragione da due termini (a_m, a_k, m, k → d, a_1); trova indice (a_1, d, a_n → n). Inserisci i valori (anche decimali o negativi) e ottieni il risultato più le formule di supporto. Il calcolatore accetta razionali rappresentabili in virgola mobile IEEE-754 a doppia precisione.

Differenze dalla progressione geometrica

Attenzione a non confondere: nella progressione aritmetica la differenza fra termini consecutivi è costante (a_{n+1} = a_n + d), nella progressione geometrica è costante il rapporto (a_{n+1} = a_n · q). Per esempio 2, 4, 6, 8 è aritmetica (d = 2), mentre 2, 4, 8, 16 è geometrica (q = 2). Le due successioni hanno formule di termine e di somma analoghe ma strutturalmente diverse.

L'aneddoto di Gauss e la somma di Gauss

La formula della somma porta il nome di Carl Friedrich Gauss per un aneddoto celebre: nel 1787, a dieci anni, il futuro "principe dei matematici" avrebbe sommato i numeri da 1 a 100 in pochi istanti accoppiando primo e ultimo termine (1+100, 2+99, …), cinquanta coppie da 101, totale 5050. L'idea dell'accoppiamento è esattamente quella della formula Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2 usata dal calcolatore, e resta uno degli esempi più citati nella didattica della matematica.

Progressioni aritmetiche e interesse semplice

Il regime di interesse semplice è una progressione aritmetica: un capitale C al tasso annuo r produce montanti C, C+Cr, C+2Cr, … con ragione d = C·r. È il regime dei buoni fruttiferi di breve durata e dei conti deposito senza capitalizzazione. La differenza con l'interesse composto — una progressione geometrica — cresce nel tempo: dopo 20 anni al 5%, 10 000 € diventano 20 000 € in regime semplice ma 26 533 € in regime composto.

Aggiornato a luglio 2026