Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt mit Betrag, Richtung und Orientierung. Repräsentiert gerichtete Größen: Geschwindigkeit, Kraft, Verschiebung.

Notation: v = (x, y, z) oder v⃗.

Betrag

|v| = √(x² + y² + z²) (Pythagoras 3D)

Beispiel: v = (3, 4, 12): |v| = √169 = 13.

Grundoperationen

Summe

v + w = (v_x + w_x, v_y + w_y, v_z + w_z). Parallelogrammregel.

Differenz

v − w

Skalare Multiplikation

k·v

Skalarprodukt (dot)

v · w = v_x·w_x + v_y·w_y + v_z·w_z = |v|·|w|·cos(θ)

Ergebnis Skalar. Eigenschaften:

• v · w = 0 ⇔ senkrecht
• v · v = |v|²

Kreuzprodukt (cross) — nur 3D

v × w = (v_y·w_z − v_z·w_y, v_z·w_x − v_x·w_z, v_x·w_y − v_y·w_x)

Ergebnis Vektor senkrecht zu beiden. |v × w| = |v|·|w|·sin(θ). Rechte-Hand-Regel.

Eigenschaften:

• v × w = 0 ⇔ parallel
• antikommutativ

Einheitsvektor

v̂ = v / |v|

Winkel zwischen Vektoren

θ = arccos[(v · w) / (|v|·|w|)]

Physikalische Anwendungen

Kinematik

• Position r⃗, Geschwindigkeit v⃗, Beschleunigung a⃗

Dynamik

• Kraft F⃗ = m·a⃗
• Drehmoment τ⃗ = r⃗ × F⃗ (Kreuzprodukt!)
• Impuls p⃗

Elektromagnetismus

• Felder E⃗, B⃗
• Lorentzkraft F⃗ = q·(E⃗ + v⃗ × B⃗)
• Poynting-Vektor S⃗ = E⃗ × H⃗

Arbeit und Leistung

W = F⃗·d⃗, P = F⃗·v⃗

Computergrafik-Anwendungen

• Oberflächennormale
• Ray Tracing
• Reflexion: R⃗ = D⃗ − 2·(D⃗·N⃗)·N⃗
• Lambert Shading: I ∝ N⃗·L⃗
• Skelettanimation, Partikelsysteme
• Videospiele: Kollisionserkennung, Boids

Vektorräume

ℝⁿ mit Axiomen.

Basis und Dimension

Standardbasis ℝ³: e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z.

Lineare Kombination

Linear unabhängige Vektoren: nur triviale Kombination gibt Null.

2D-Test: (a,b) und (c,d) abhängig ⇔ a·d − b·c = 0.

Bemerkenswerte Produkte

• Lagrange-Identität
• Spatprodukt = Volumen
• Dreifachkreuzprodukt: BAC-CAB

Lineare Transformationen

• Rotationen orthogonal, det=1
• Spiegelungen orthogonal, det=−1
• Skalierung Diagonalmatrizen

Geschichte

• ~1830 Bellavitis
• ~1843 Hamilton Quaternionen
• ~1844 Grassmann Ausdehnungslehre
• ~1880-1890 Gibbs Heaviside moderner Vektorkalkül
• ~1900 Peano Axiomatisierung

Höhere Dimensionen

• ML: Feature-Vektoren Millionen Dimensionen
• NLP: Word Embeddings ℝ^300-4096
• Bilder: abgeflachte Pixel-Vektoren
• Theoretische Physik: Hilbert-Räume

Häufige Fehler

• Dot und Cross verwechseln
• Cross in 2D strikt existiert nicht
• Winkel 0-180° nicht 0-90°

Python/NumPy

import numpy as np
np.linalg.norm(v1)
np.dot(v1, v2)
np.cross(v1, v2)

FAQ

Warum Vektoren?

Gerichtete Größen.

Cross in 2D?

Formal nur 3D.

Dot immer positiv?

Nein, stumpfer Winkel = negativ.

Geschwindigkeit vs Tempo?

Geschwindigkeit Vektor, Tempo Skalar.

Grafische Darstellung von Vektoren

Vektoren werden grafisch als Pfeile dargestellt:

• Ursprung (Ende): Startpunkt
• Spitze (Kopf): Endpunkt
• Länge: Betrag |v|
• Richtung: Winkel zur x-Achse
• Orientierung: vom Ende zur Spitze

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleichen Betrag, gleiche Richtung und Orientierung haben (unabhängig vom Ursprung).

Bezugssystem

In 2D: jeder Punkt wird beschrieben durch Koordinaten (x, y) nach Wahl eines Ursprungs O und zweier senkrechter Achsen. Positionsvektor von P = Pfeil von O zu P.

In 3D: z-Achse hinzugefügt. Konvention:

• Rechtsdrehende Achsen (right-handed): x vorne, y rechts, z oben
• Rechte-Hand-Regel bestimmt Richtung des Kreuzprodukts

Polar- und Kugelkoordinaten

Polar (2D)

v = (|v|, θ). Umrechnung:

• x = |v|·cos(θ)
• y = |v|·sin(θ)

Zylinder (3D)

(r, θ, z): r und θ polar in xy-Ebene, z Höhe.

Kugel (3D)

(r, θ, φ): r Gesamtbetrag, θ Neigung von z, φ Azimut in xy.

Kugelkoordinaten nützlich in Astronomie, Geographie, Quantenphysik.

Äußeres Produkt (wedge product)

Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf beliebige Dimensionen:

v ∧ w = Bivektor, der die von v und w aufgespannte orientierte Ebene darstellt

In 3D stimmt mit Kreuzprodukt überein. In ℝⁿ erzeugt äußere Algebra (Grassmann 1844) und geometrische Algebra (Clifford 1878).

Moderne Anwendungen:

• Robotik: Motoren und Schraubungen
• Computergrafik: Orientierung ohne Quaternionen
• Physik: geometrische Formulierung Relativität

Vektor-Operatoren in der Analysis

• Gradient ∇f: Vektor partieller Ableitungen, Richtung stärksten Anstiegs
• Divergenz ∇·F: Skalar, infinitesimaler Ausfluss
• Rotation (curl) ∇×F: Vektor, infinitesimale Drehung
• Laplace-Operator ∇²f = ∇·∇f

Grundlage der Vektoranalysis (Sätze von Stokes, Green, Gauß).

Anwendungen im Machine Learning

Vektoren sind die Währung des modernen ML:

• Word Embeddings: Word2Vec (Mikolov 2013) konvertiert Wörter in ~300D-Vektoren
• BERT, GPT: kontextuelle Darstellungen ℝ⁷⁶⁸-ℝ⁴⁰⁹⁶
• Bild-Embeddings: CNNs erzeugen Vektoren, die Bildinhalt erfassen
• Empfehlungssysteme: Nutzer und Produkte als Vektoren, Skalarprodukt = Empfehlungs-Score
• K-means: gruppiert Vektoren nach euklidischem Abstand

Kosinus-Ähnlichkeit

Beliebte Metrik im ML:

sim(v, w) = (v · w) / (|v|·|w|) = cos(θ)

• Bereich [-1, 1]
• 1 = parallel (maximale Ähnlichkeit)
• 0 = senkrecht
• −1 = antiparallel

Verwendet in NLP, Empfehlung, Gesichtserkennung.

Vektoren in der Computergrafik

Jedes Frame eines Spiels oder 3D-Films umfasst Milliarden von Vektoroperationen:

• Scheitelpunkte: jeweils ℝ³
• Transformationsmatrizen 4×4 (homogene Koordinaten)
• GPUs für SIMD auf Vektoren optimiert
• Shader: Vektorberechnungen pro Pixel/Vertex

Quaternionen und 3D-Rotationen

Quaternionen (Hamilton 1843) stellen 3D-Rotationen kompakt dar:

q = w + xi + yj + zk (4 Komponenten)

Vorteile gegenüber Matrizen:

• Kein Gimbal Lock
• Glatte Interpolation (SLERP)
• Speicherung 4 Werte vs 9 für Rotationsmatrix

Massiv verwendet in Videospielen, Luft- und Raumfahrtsimulation, Animation.

Aktualisiert im Juli 2026