Cos'è un vettore

Un vettore è un ente matematico caratterizzato da modulo (lunghezza), direzione e verso. A differenza di uno scalare (un semplice numero), un vettore rappresenta quantità orientate: velocità, forza, spostamento, campo elettrico, ecc.

Notazione: v = (x, y, z) oppure v⃗ con freccia.

Componenti e modulo

In 3D, un vettore v = (x, y, z) ha modulo (lunghezza):

|v| = √(x² + y² + z²)

Generalizzazione del teorema di Pitagora a 3 dimensioni.

Esempio

v = (3, 4, 12): |v| = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Questa è la "terna pitagorica 3D" più famosa.

Operazioni fondamentali

1. Somma vettoriale

v + w = (v_x + w_x, v_y + w_y, v_z + w_z)

Rispetta la regola del parallelogramma: se posizioni i vettori con la stessa origine, la somma è la diagonale del parallelogramma che formano.

2. Differenza

v − w = v + (−w)

Rappresenta lo spostamento per andare da w a v.

3. Moltiplicazione per scalare

k·v = (k·v_x, k·v_y, k·v_z)

Cambia il modulo di un fattore k, direzione invariata (verso si inverte se k < 0).

4. Prodotto scalare (dot product)

v · w = v_x·w_x + v_y·w_y + v_z·w_z = |v|·|w|·cos(θ)

Il risultato è uno scalare (un numero). Interpretazione geometrica: proiezione di un vettore sull'altro moltiplicata per il modulo.

Proprietà chiave:

• v · w = 0 ⇔ vettori perpendicolari (θ = 90°)
• v · v = |v|²
• v · w > 0 ⇔ angolo acuto
• v · w < 0 ⇔ angolo ottuso

5. Prodotto vettoriale (cross product) — solo 3D

v × w = (v_y·w_z − v_z·w_y, v_z·w_x − v_x·w_z, v_x·w_y − v_y·w_x)

Il risultato è un vettore perpendicolare a entrambi v e w, con:

• |v × w| = |v|·|w|·sin(θ) (area del parallelogramma formato da v e w)
• Direzione: regola della mano destra (pollice = v, indice = w, medio = v × w)

Proprietà:

• v × w = 0 ⇔ vettori paralleli
• v × w = −(w × v) (anticommutativo)
• v × (w + u) = v × w + v × u (distributivo)

6. Versore (vettore unitario)

v̂ = v / |v| (modulo 1, stessa direzione e verso)

Utile per rappresentare direzioni senza importarsi della lunghezza.

Angolo tra due vettori

Dalla formula del dot product:

cos(θ) = (v · w) / (|v| · |w|)

Da cui:

θ = arccos[(v · w) / (|v| · |w|)]

L'angolo è fra 0° e 180°.

Applicazioni in fisica

Cinematica

• Posizione: r⃗(t) = (x(t), y(t), z(t))
• Velocità: v⃗ = dr⃗/dt
• Accelerazione: a⃗ = dv⃗/dt

Dinamica

• Forza: F⃗ (seconda legge Newton F⃗ = m·a⃗)
• Momento: M⃗ = r⃗ × F⃗ (cross product!)
• Quantità di moto: p⃗ = m·v⃗

Elettromagnetismo

• Campo elettrico: E⃗ (vettore per definizione)
• Campo magnetico: B⃗
• Forza di Lorentz: F⃗ = q·(E⃗ + v⃗ × B⃗)
• Vettore di Poynting: S⃗ = E⃗ × H⃗ (propagazione energia EM)

Lavoro e potenza

Lavoro W = F⃗ · d⃗ (dot product! Perché solo la componente di F lungo d contribuisce)

Potenza P = F⃗ · v⃗

Applicazioni in computer grafica

Rendering 3D

• Normali alle superfici: vettori perpendicolari per calcolare illuminazione
• Raggio-vista: ray tracing usa vettori come raggi
• Riflessione: R⃗ = D⃗ − 2·(D⃗ · N⃗)·N⃗ (D raggio incidente, N normale)
• Lambert shading: intensità ∝ N⃗ · L⃗ (normale · luce)

Animazione

• Skeletal animation: ogni osso è un vettore
• Particle systems: posizione + velocità + accelerazione
• Pathfinding: direzione come versore

Videogiochi

• Collision detection: vettori normali separanti
• Camera: vista vettoriale
• AI: flocking behavior (Reynolds 1987, boids)

Spazi vettoriali

L'insieme di tutti i vettori a n componenti forma uno spazio vettoriale ℝⁿ con le operazioni di somma e moltiplicazione per scalare.

Proprietà fondamentali (assiomi):

• Commutatività: u + v = v + u
• Associatività: (u + v) + w = u + (v + w)
• Elemento neutro: v + 0 = v
• Elemento opposto: v + (−v) = 0
• Distributività: k(u + v) = ku + kv, (a+b)v = av + bv
• Identità: 1·v = v

Base e dimensione

Una base di uno spazio vettoriale è un insieme minimo di vettori linearmente indipendenti che genera tutto lo spazio.

In ℝ³, la base canonica è:

e⃗_x = (1,0,0), e⃗_y = (0,1,0), e⃗_z = (0,0,1)

Ogni vettore v = (x,y,z) si scrive: v = x·e⃗_x + y·e⃗_y + z·e⃗_z.

Combinazione lineare e dipendenza

Combinazione lineare: c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n con c_i scalari.

Vettori linearmente indipendenti: l'unica combinazione lineare che dà il vettore nullo ha tutti c_i = 0.

Test rapido 2D: (a,b) e (c,d) sono dipendenti ⇔ a·d − b·c = 0 (determinante 2×2 = 0).

Prodotti notevoli

Identità di Lagrange

|v × w|² = |v|²·|w|² − (v · w)²

Da cui: sin²θ + cos²θ = 1 applicato ai vettori.

Triplo prodotto scalare

[u, v, w] = u · (v × w) = det(u, v, w)

Rappresenta il volume del parallelepipedo formato dai tre vettori. Se zero: vettori complanari.

Triplo prodotto vettoriale

u × (v × w) = v(u · w) − w(u · v) (formula BAC-CAB)

Attenzione: non associativa, l'ordine conta.

Trasformazioni lineari e matrici

Le matrici rappresentano trasformazioni lineari sui vettori:

• Rotazioni: matrici ortogonali, det = 1
• Riflessioni: matrici ortogonali, det = −1
• Scale: matrici diagonali
• Shear: matrici triangolari non-diagonali

Moltiplicazione matrice-vettore: A·v = vettore trasformato.

Storia dei vettori

• ~1830 — Giusto Bellavitis: primo concetto di equipollenza vettoriale
• ~1843 — William Rowan Hamilton: quaternioni (precursori dei vettori 3D moderni)
• ~1844 — Hermann Grassmann: teoria generale degli spazi vettoriali (Ausdehnungslehre), incompresa per decenni
• ~1880-1890 — Josiah Gibbs, Oliver Heaviside: sviluppano il calcolo vettoriale moderno come semplificazione dei quaternioni
• ~1900 — Giuseppe Peano: assiomatizzazione dello spazio vettoriale
• ~1950 — Linear Algebra moderna: con computer, vettori diventano strumento universale

Vettori in dimensione superiore

ℝⁿ esiste per qualsiasi n. Applicazioni:

• Machine Learning: feature vectors di milioni di dimensioni
• NLP: word embeddings (Word2Vec, GloVe, BERT) in ℝ³⁰⁰-ℝ⁴⁰⁹⁶
• Immagini: vettore pixel appiattito in 784D (28×28 MNIST), 150528D (224×224 RGB)
• Fisica teorica: stati quantici in spazi di Hilbert (dimensione infinita)

Errori comuni

• Confondere dot e cross product: dot dà scalare, cross dà vettore (solo 3D)
• Pensare al cross product in 2D: rigorosamente solo in 3D (7D esiste come raro caso)
• Somma componenti come numeri separati: sommare vettori significa sommare componenti, non "somma totale"
• Angolo sempre acuto: può essere 0-180°, non 0-90°
• Dimenticare ordine nel cross: v × w ≠ w × v (anticommutativo)

Python / NumPy

import numpy as np

v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([4, 5, 6])

mag = np.linalg.norm(v1)        # 3.742
dot = np.dot(v1, v2)            # 32
cross = np.cross(v1, v2)        # [-3, 6, -3]
angle = np.arccos(dot / (np.linalg.norm(v1) * np.linalg.norm(v2)))

# Versore
unit = v1 / np.linalg.norm(v1)

FAQ

Perché i vettori esistono?

Rappresentano quantità che hanno direzione, non solo modulo. Velocità, forza, campo elettrico — senza direzione non hanno senso fisico.

Cross product in 2D?

Formalmente no: il cross product è definito strettamente in 3D (e 7D). In 2D si usa spesso il "cross scalare" = componente z del cross 3D con z=0: x₁y₂ − y₁x₂.

Dot product sempre positivo?

No. Se l'angolo tra i vettori è ottuso (> 90°), dot product è negativo.

Vettori e velocità?

La velocità è vettore, la rapidità (speed) è scalare (|v|). Un'auto a 50 km/h a nord ha stessa rapidità ma velocità diversa da 50 km/h a sud.

Perché normal come vettore?

Per superfici, la direzione di "fuori" è un vettore. In grafica, la normale determina illuminazione (Lambert: I ∝ N·L).

Spazi vettoriali dimensione infinita?

Esistono: lo spazio delle funzioni continue su [0,1] è infinito-dimensionale. Usato in meccanica quantistica (spazi di Hilbert).

Conclusione

I vettori sono il linguaggio matematico dello spazio. Dall'ingegneria alla grafica, dalla fisica al machine learning, ogni disciplina moderna usa intensivamente calcolo vettoriale. Le formule di dot product, cross product, modulo sono evergreen: da Gibbs-Heaviside del 1880 al GPU del 2024, la stessa matematica sottende calcolo miliardi di volte al secondo.

Aggiornato a luglio 2026