¿Qué es un vector?

Un vector es un ente matemático con módulo, dirección y sentido. Representa cantidades orientadas: velocidad, fuerza, desplazamiento.

Notación: v = (x, y, z) o v⃗.

Módulo

|v| = √(x² + y² + z²) (Pitágoras 3D)

Ejemplo: v = (3, 4, 12): |v| = √169 = 13.

Operaciones fundamentales

Suma

v + w = (v_x + w_x, v_y + w_y, v_z + w_z)

Diferencia

v − w

Multiplicación escalar

k·v = (k·v_x, k·v_y, k·v_z)

Producto escalar (dot)

v · w = v_x·w_x + v_y·w_y + v_z·w_z = |v|·|w|·cos(θ)

Resultado escalar. Propiedades:

• v · w = 0 ⇔ perpendiculares
• v · v = |v|²

Producto vectorial (cross) — solo 3D

v × w = (v_y·w_z − v_z·w_y, v_z·w_x − v_x·w_z, v_x·w_y − v_y·w_x)

Resultado vector perpendicular a ambos. |v × w| = |v|·|w|·sin(θ). Dirección: regla mano derecha.

Propiedades:

• v × w = 0 ⇔ paralelos
• v × w = −(w × v)

Versor

v̂ = v / |v| (módulo 1)

Ángulo entre vectores

θ = arccos[(v · w) / (|v|·|w|)]

Aplicaciones en física

Cinemática

• Posición r⃗, velocidad v⃗, aceleración a⃗

Dinámica

• Fuerza F⃗ = m·a⃗ (Newton 2a ley)
• Torque τ⃗ = r⃗ × F⃗ (cross!)
• Cantidad movimiento p⃗ = m·v⃗

Electromagnetismo

• Campo eléctrico E⃗, magnético B⃗
• Fuerza Lorentz F⃗ = q·(E⃗ + v⃗ × B⃗)
• Vector Poynting S⃗ = E⃗ × H⃗

Trabajo y potencia

W = F⃗ · d⃗, P = F⃗ · v⃗

Aplicaciones en gráficos

• Normales superficies: vectores perpendiculares
• Ray tracing
• Reflexión: R⃗ = D⃗ − 2·(D⃗·N⃗)·N⃗
• Lambert shading: I ∝ N⃗·L⃗
• Animación esquelética, sistemas partículas
• Videojuegos: collision detection, boids

Espacios vectoriales

ℝⁿ con axiomas: conmutatividad, asociatividad, elemento neutro, opuesto, distributividad, identidad.

Base y dimensión

Base canónica ℝ³: e⃗_x = (1,0,0), e⃗_y = (0,1,0), e⃗_z = (0,0,1).

Combinación lineal y dependencia

Vectores independientes: única combinación que da 0 tiene todos c_i = 0.

Test 2D: (a,b) y (c,d) dependientes ⇔ a·d − b·c = 0.

Productos notables

• Identidad Lagrange: |v × w|² = |v|²·|w|² − (v · w)²
• Triple producto escalar: u · (v × w) = det = volumen paralelepípedo
• Triple producto vectorial: u × (v × w) = v(u·w) − w(u·v) (BAC-CAB)

Transformaciones lineales y matrices

• Rotaciones: ortogonales, det = 1
• Reflexiones: ortogonales, det = −1
• Escala: diagonales
• Shear: triangulares

Historia

• ~1830 Bellavitis: equipolencia
• ~1843 Hamilton: cuaterniones
• ~1844 Grassmann: teoría general
• ~1880-1890 Gibbs, Heaviside: cálculo vectorial moderno
• ~1900 Peano: axiomatización

Dimensiones superiores

• ML: feature vectors millones dimensiones
• NLP: word embeddings ℝ^300-4096
• Imágenes: píxeles aplanados 784D MNIST
• Física teórica: espacios Hilbert infinitos

Errores comunes

• Confundir dot y cross (dot=escalar, cross=vector 3D)
• Cross en 2D estricto no existe
• Ángulo 0-180° no 0-90°
• Cross no conmutativo

Python/NumPy

import numpy as np
v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([4, 5, 6])
np.linalg.norm(v1)  # 3.742
np.dot(v1, v2)      # 32
np.cross(v1, v2)    # [-3, 6, -3]

FAQ

¿Por qué existen vectores?

Representan cantidades con dirección.

¿Cross en 2D?

Formalmente solo 3D.

¿Dot siempre positivo?

No, ángulo obtuso da negativo.

¿Velocidad vs rapidez?

Velocidad vector, rapidez escalar |v|.

Representación gráfica de vectores

Los vectores se representan gráficamente como flechas:

• Origen (cola): punto de partida
• Extremo (cabeza): punto final
• Longitud: módulo |v|
• Dirección: ángulo respecto al eje x
• Sentido: de la cola a la cabeza

Dos vectores son iguales si tienen mismo módulo, dirección y sentido (independientemente del origen).

Sistema de referencia

En 2D: cualquier punto se describe con coordenadas (x, y) tras elegir un origen O y dos ejes perpendiculares (x y y). El vector posición de un punto P es la flecha desde O hasta P.

En 3D: se añade el eje z. Por convención:

• Ejes dextrógiros (right-handed): x adelante, y derecha, z arriba (o variantes)
• Regla mano derecha determina sentido cross product

Coordenadas polares y esféricas

Los vectores se pueden representar en coordenadas alternativas:

Polares (2D)

v = (|v|, θ) donde θ es el ángulo desde el eje x. Conversión:

• x = |v|·cos(θ)
• y = |v|·sen(θ)

Cilíndricas (3D)

(r, θ, z): r y θ son polares en el plano xy, z altura.

Esféricas (3D)

(r, θ, φ): r módulo total, θ inclinación desde z, φ azimut en xy.

Coordenadas esféricas útiles en astronomía, geografía, física cuántica.

Producto exterior (wedge product)

Generalización del cross product a dimensiones arbitrarias:

v ∧ w = bivector representando el plano orientado formado por v y w

En 3D coincide con cross product. En ℝⁿ genera álgebra esterior (Grassmann 1844) y álgebra geométrica (Clifford 1878).

Aplicaciones modernas:

• Robótica: motores y screws
• Computer graphics: orientación sin cuaterniones
• Física: formulación geométrica relatividad

Aplicaciones en Machine Learning

Los vectores son la moneda del ML moderno. Casi todo se representa como vectores:

• Word embeddings: Word2Vec (Mikolov 2013) convierte palabras en vectores ~300D. Palabras similares tienen cosine similarity alta
• BERT, GPT: representaciones contextuales ℝ⁷⁶⁸-ℝ⁴⁰⁹⁶
• Image embeddings: CNNs producen vectores que capturan contenido imagen
• Recommender systems: usuarios y productos como vectores, dot product = score recomendación
• K-means clustering: agrupa vectores por distancia euclídea

Similitud del coseno

Métrica popular en ML para comparar vectores:

sim(v, w) = (v · w) / (|v|·|w|) = cos(θ)

• Rango [-1, 1]
• 1 = paralelos (máxima similitud)
• 0 = perpendiculares (sin correlación)
• −1 = antiparalelos (máxima diferencia)

Usada en NLP, recomendación, face recognition, búsqueda semántica.

Vectores en informática gráfica

Cada frame de un videojuego o película 3D involucra miles de millones de operaciones vectoriales:

• Vértices: ℝ³ cada uno
• Matrices transformación 4×4 (coord homogéneas)
• GPU optimizadas para operaciones SIMD sobre vectores
• Shaders: programa cálculos vectoriales per-pixel/vertex

Ejemplo: una escena con 1M triángulos y 60 FPS requiere 180M operaciones vectoriales al secondo solo para rendering básico.

Actualizado a julio de 2026