Somos-Folge Rechner (Somos-4, Somos-5, Laurent-Phänomen)

Somos-Folgen-Rechner: Somos-4, Somos-5, Somos-6, Somos-7 mit Laurent-Phänomen, bewiesene Ganzzahligkeit, Fomin-Zelevinsky Cluster-Algebren, Elliptische Kurven.

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Somos-Folgen

Somos-Folgen sind ganzzahlige Folgen, die durch nichtlineare rationale Rekursionen definiert sind, die Michael Somos 1989 entdeckte. Die überraschende Eigenschaft ist, dass trotz der Division in den Rekursionen alle Terme ganze Zahlen sind.

Varianten-Definitionen

Somos-4: a_n = (a_{n-1} a_{n-3} + a_{n-2}^2) / a_{n-4}, mit a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 1.

Somos-5: a_n = (a_{n-1} a_{n-4} + a_{n-2} a_{n-3}) / a_{n-5}.

Somos-6: a_n = (a_{n-1} a_{n-5} + a_{n-2} a_{n-4} + a_{n-3}^2) / a_{n-6}.

Somos-7: a_n = (a_{n-1} a_{n-6} + a_{n-2} a_{n-5} + a_{n-3} a_{n-4}) / a_{n-7}.

Erste Terme

  • Somos-4: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, ... (OEIS A006720).
  • Somos-5: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, ... (OEIS A006721).
  • Somos-6: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, ... (OEIS A006722).
  • Somos-7: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 7, 11, 33, ... (OEIS A006723).

Laurent-Phänomen

Das zentrale Ergebnis, bewiesen von Sergey Fomin und Andrei Zelevinsky 2002 im Rahmen der Cluster-Algebren: jeder Folgenterm kann als Laurent-Polynom in den Anfangswerten ausgedrückt werden. Dies impliziert, dass bei ganzzahligen Anfangswerten alle nachfolgenden Terme ebenfalls ganzzahlig sind.

Ganzzahligkeits-Grenze

Somos-k hat bewiesene Ganzzahligkeit für k = 4, 5, 6, 7. Für k = 8 und höher versagt sie selbst mit Einheits-Anfangswerten: Somos-8 liefert Nicht-Ganzzahlen bei Term 17. Diese scharfe Grenze zwischen k = 7 und k = 8 ist eine der faszinierendsten Überraschungen der modernen Kombinatorik.

Verbindung mit elliptischen Kurven

Hone, van der Kamp und andere bewiesen (2005-2010), dass Somos-4 und Somos-5 durch die Weierstrass-Sigma-Funktion einer elliptischen Kurve ausgedrückt werden können. Wenn E eine elliptische Kurve über Q ist und P ein Punkt unendlicher Ordnung, so sind die Koordinaten von nP in der Folge kodiert.

Asymptotisches Wachstum

Für jede Somos-Folge gilt log|a_n| ~ c n^2 für eine positive Konstante c. Dieses quadratische Wachstum im Exponenten ist charakteristisch und unterscheidet Somos von einfachen polynomialen oder exponentiellen Folgen. Somos-4 mit Anfang 1,1,1,1 hat c etwa 0.087.

Cluster-Algebren

Somos-Folgen sind der motivierende Prototyp der Cluster-Algebren-Theorie, die Fomin-Zelevinsky seit 2002 entwickelten. Eine Cluster-Algebra ist eine Familie kommutativer Ringe mit Generatorsystemen (Cluster-Variablen), die durch aufeinanderfolgende Mutationen erzeugt werden.

Historischer Kontext

Michael Somos veröffentlichte die Beobachtungen 1989 im Newsletter von Neil Sloane (OEIS). Über ein Jahrzehnt blieb die Ganzzahligkeit ein experimentelles Rätsel. Dean Hickerson lieferte den ersten Beweis für Somos-4. Die vollständige Verallgemeinerung kam mit Fomin-Zelevinsky. Verbindungen mit diskreten integrablen Gleichungen (Hirota, QRT-Karten) tauchen in der mathematischen Physik auf.

Anwendungen

  • Cluster-Algebren-Theorie und Köcher-Mutationen.
  • Diskrete integrable dynamische Systeme.
  • Elliptische Kurven und Berechnung von Punktvielfachen.
  • Enumerative Kombinatorik (Aztec-Diamond perfekte Paarungen).
  • Köcher-Darstellungstheorie.
  • Elliptische-Kurven-Kryptographie.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was sind Somos-Folgen?

Es sind durch nichtlineare rationale Rekursionen definierte Folgen, 1989 von Michael Somos entdeckt. Ihre uberraschende Eigenschaft ist, dass trotz der in der Rekursion vorhandenen Division alle Terme ganze Zahlen sind. Die Somos-4 beginnt mit 1,1,1,1,2,3,7,23,59,314 (Folge A006720 der OEIS).

Wie ist die Somos-4 definiert?

Durch die Rekursion a_n = (a_{n-1} a_{n-3} + a_{n-2}^2)/a_{n-4}, mit den vier Anfangswerten a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 1. Jeder neue Term ergibt sich durch Kombination der vier vorherigen mit Multiplikationen, einer Addition und einer Division. Trotz Letzterer ist das Ergebnis stets ganzzahlig.

Welche Varianten gibt es?

Die wichtigsten sind Somos-4, Somos-5, Somos-6 und Somos-7 wachsender Ordnung. Jede nutzt eine grossere Zahl vorheriger Terme in der Rekursion. Alle erzeugen ganzzahlige Folgen, ausgehend von Anfangswerten gleich eins. Es gibt auch die verallgemeinerte Gale-Robinson-Familie, von der die Somos-Folgen Spezialfalle sind.

Warum sind alle Terme ganzzahlig?

Wegen des Laurent-Phanomens, 2001 von Fomin und Zelevinsky bewiesen: jeder Term ist ein Laurent-Polynom in den Anfangswerten, also ein Bruch, dessen Nenner nur Monome der Ausgangsdaten sind. Mit Anfangswerten gleich eins betragen diese Nenner eins, sodass jeder Term automatisch ganzzahlig ist.

Bis zu welcher Ordnung bleiben die Terme ganzzahlig?

Die Somos-k-Folgen mit k von 4 bis 7 erzeugen stets ganze Zahlen, eine streng bewiesene Tatsache. Ab Somos-8 sind die Terme jedoch nicht mehr notwendig ganzzahlig: es treten Bruchwerte auf. Deshalb stellt die Zahl 7 eine bemerkenswerte Grenze in der Theorie dieser Folgen dar.

Wie wachsen die Terme?

Sehr schnell: Somos-Folgen haben ein quadratisch-exponentielles Wachstum, das heisst der Logarithmus des Terms wachst wie das Quadrat des Index. Dieses Verhalten spiegelt die Verbindung zur Arithmetik elliptischer Kurven wider und lasst die Werte nach wenigen Dutzend Termen enorm werden.

Welche Verbindung haben sie zu elliptischen Kurven?

Eine tiefe: die Terme von Somos-4 und Somos-5 werden uber die Weierstrass-Sigma-Funktion einer elliptischen Kurve ausgedruckt und sind ein Fall der elliptischen Teilbarkeitsfolgen, die Morgan Ward in den 1940er Jahren untersuchte. Sie kodieren die Arithmetik der rationalen Punkte der Kurve, mit Anwendungen in Zahlentheorie und Kryptographie.

Wozu dienen Somos-Folgen?

Der Forschung in der reinen Mathematik: sie sind mit Cluster-Algebren, der Kombinatorik (perfekte Matchings der aztekischen Diamanten), der Darstellungstheorie und den elliptischen Kurven verbunden. Sie finden Anwendungen in der Kryptographie mit elliptischen Kurven und in der Erzeugung von Folgen mit starken strukturellen Eigenschaften.

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