Calculatrice Suite de Somos (Somos-4, Somos-5, Laurent)

Calculatrice suites de Somos: Somos-4, Somos-5, Somos-6, Somos-7 avec phénomène de Laurent, integralite demontree, algebres cluster de Fomin-Zelevinsky.

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Suites de Somos

Les suites de Somos sont des successions d entiers definies par des recurrences rationnelles non linéaires decouvertes par Michael Somos en 1989. La propriété surprenante est que, malgre la division dans les recurrences, tous les termes sont des nombres entiers.

Definitions des variantes

Somos-4: a_n = (a_{n-1} a_{n-3} + a_{n-2}^2) / a_{n-4}, avec a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 1.

Somos-5: a_n = (a_{n-1} a_{n-4} + a_{n-2} a_{n-3}) / a_{n-5}.

Somos-6: a_n = (a_{n-1} a_{n-5} + a_{n-2} a_{n-4} + a_{n-3}^2) / a_{n-6}.

Somos-7: a_n = (a_{n-1} a_{n-6} + a_{n-2} a_{n-5} + a_{n-3} a_{n-4}) / a_{n-7}.

Premiers termes

  • Somos-4: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, ... (OEIS A006720).
  • Somos-5: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, ... (OEIS A006721).
  • Somos-6: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, ... (OEIS A006722).
  • Somos-7: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 7, 11, 33, ... (OEIS A006723).

Phénomène de Laurent

Le résultat central demontre par Sergey Fomin et Andrei Zelevinsky en 2002 dans le cadre des algebres amassees: chaque terme de la suite peut s exprimer comme polynome de Laurent en les valeurs initiales. Cela implique qu avec valeurs entières, tous les termes suivants sont aussi entiers.

Limite d integralite

Somos-k a integralite demontree pour k = 4, 5, 6, 7. Pour k = 8 et plus echoue meme avec valeurs unitaires: Somos-8 produit non-entiers au terme 17. Cette frontiere brusque entre k = 7 et k = 8 est une des surprises les plus fascinantes de la combinatoire moderne.

Connexion avec courbes elliptiques

Hone, van der Kamp et autres ont demontre (2005-2010) que Somos-4 et Somos-5 peuvent s exprimer via la fonction sigma de Weierstrass d une courbe elliptique. Si E est courbe elliptique sur Q et P point d ordre infini, les coordonnees de nP sont encodees dans la suite.

Croissance asymptotique

Pour chaque suite de Somos, log|a_n| ~ c n^2 pour constante positive c. Cette croissance quadratique dans l exposant est caracteristique et distingue Somos des suites polynomiales ou exponentielles simples. Somos-4 avec initial 1,1,1,1 a c environ 0.087.

Algebres amassees

Les suites de Somos sont le prototype motivant de la théorie des algebres amassees developpee par Fomin-Zelevinsky depuis 2002. Une algèbre amassee est une famille d anneaux commutatifs avec generateurs produits par mutations successives.

Contexte historique

Michael Somos publia ses observations en 1989 dans la newsletter de Neil Sloane (OEIS). Pendant plus d une decennie l integralite resta mystere expérimental. Dean Hickerson fournit première preuve pour Somos-4. Generalisation complete arriva avec Fomin-Zelevinsky. Connexions avec équations discretes integrables (Hirota, cartes QRT) emergent en physique mathématique.

Applications

  • Théorie des algebres amassees et mutations de quivers.
  • Systèmes dynamiques discrets integrables.
  • Courbes elliptiques et calcul de multiples de points.
  • Combinatoire enumerative (appariements parfaits d Aztec diamonds).
  • Théorie des représentations de quivers.
  • Cryptographie basee sur courbes elliptiques.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Que sont les suites de Somos ?

Ce sont des suites definies par des recurrences rationnelles non lineaires, decouvertes par Michael Somos en 1989. Leur propriete surprenante est que, malgre la division presente dans la recurrence, tous les termes s'averent des entiers. La Somos-4 commence par 1,1,1,1,2,3,7,23,59,314 (suite A006720 de l'OEIS).

Comment est definie la Somos-4 ?

Par la recurrence a_n = (a_{n-1} a_{n-3} + a_{n-2}^2)/a_{n-4}, avec les quatre valeurs initiales a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 1. Chaque nouveau terme s'obtient en combinant les quatre precedents avec des multiplications, une addition et une division. Malgre cette derniere, le resultat est toujours entier.

Quelles variantes existent ?

Les principales sont Somos-4, Somos-5, Somos-6 et Somos-7, d'ordre croissant. Chacune utilise un nombre plus grand de termes precedents dans la recurrence. Toutes produisent des suites entieres a partir de valeurs initiales egales a un. Il existe aussi la famille generalisee de Gale-Robinson, dont les Somos sont des cas particuliers.

Pourquoi tous les termes sont-ils entiers ?

A cause du phenomene de Laurent, demontre par Fomin et Zelevinsky en 2001 : chaque terme est un polynome de Laurent en les valeurs initiales, soit une fraction dont les denominateurs sont seulement des monomes des donnees de depart. Avec des valeurs initiales egales a un ces denominateurs valent un, donc chaque terme est automatiquement entier.

Jusqu'a quel ordre les termes restent-ils entiers ?

Les suites de Somos-k avec k de 4 a 7 produisent toujours des entiers, un fait demontre rigoureusement. A partir de Somos-8, en revanche, les termes ne sont plus necessairement entiers : des valeurs fractionnaires apparaissent. C'est pourquoi le nombre 7 represente une frontiere notable dans la theorie de ces suites.

Comment croissent les termes ?

Tres rapidement : les suites de Somos ont une croissance de type exponentiel quadratique, c'est-a-dire que le logarithme du terme croit comme le carre de l'indice. Ce comportement reflete le lien avec l'arithmetique des courbes elliptiques et fait que les valeurs deviennent enormes apres quelques dizaines de termes.

Quel lien ont-elles avec les courbes elliptiques ?

Un lien profond : les termes de Somos-4 et Somos-5 s'expriment via la fonction sigma de Weierstrass d'une courbe elliptique, et sont un cas des suites de divisibilite elliptique etudiees par Morgan Ward dans les annees quarante. Elles encodent l'arithmetique des points rationnels de la courbe, avec des applications en theorie des nombres et cryptographie.

A quoi servent les suites de Somos ?

A la recherche en mathematiques pures : elles sont liees aux algebres amassees, a la combinatoire (couplages parfaits des diamants azteques), a la theorie des representations et aux courbes elliptiques. Elles trouvent des applications en cryptographie sur courbes elliptiques et dans la generation de suites aux fortes proprietes structurelles.

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