Wie berechnet man die chromatische Dispersion mit der Sellmeier-Gleichung

Berechnen Sie den Brechungsindex n(λ) optischer Gläser, Quarz, Saphir, Si, Ge mit der Sellmeier-Gleichung (1872): n²(λ) = 1 + ΣBᵢλ²/(λ²-Cᵢ). Abbe-Zahl, Gruppenindex, GVD für Lichtleitfasern und Ultrakurzpuls-Laser — Basis von Carl Zeiss, Schott Mainz, Trumpf, MPI Quantenoptik.

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Wie berechnet man die chromatische Dispersion mit der Sellmeier-Gleichung erlaubt die präzise Bestimmung des Brechungsindexes n eines optischen Materials als Funktion der Wellenlänge λ. Die Formel wurde 1872 von Wilhelm Sellmeier (Universität Göttingen) als empirische Verbesserung der Cauchy-Gleichung (1836) hergeleitet. Die Standard-Form mit drei Termen lautet n²(λ) = 1 + B₁λ²/(λ²-C₁) + B₂λ²/(λ²-C₂) + B₃λ²/(λ²-C₃), mit λ in Mikrometern. Für Schott-BK7-Glas: B₁=1,03961212, B₂=0,231792344, B₃=1,01046945. Sie ist die Grundlage des Designs von Foto-Linsen, Lichtleitfasern, EUV-Lithographie-Systemen, fortgeschrittener Mikroskopie und Lasern — verwendet bei Carl Zeiss SMT Oberkochen, Schott Mainz, Trumpf Ditzingen, MPI Quantenoptik Garching, Fraunhofer IOF Jena, sowie industriellen Anbietern wie Jenoptik und Heidelberg Instruments.

1. Die Sellmeier-Gleichung und die Abbe-Zahl

Die Gleichung beschreibt die normale und anomale Dispersion über Summen resonanter Oszillatoren: jedes Cᵢ ist die quadrierte Resonanzwellenlänge (in µm²), Bᵢ die Oszillatorstärke. Die Abbe-Zahl ν_d = (n_d - 1)/(n_F - n_C) — n_d bei 587,6 nm (Fraunhofer-D), n_F bei 486,1 nm, n_C bei 656,3 nm — quantifiziert die Dispersion: Crown-Gläser ν_d > 50 (BK7=64,17), Flint-Gläser ν_d < 50 (SF11=25,76). Die Gruppengeschwindigkeitsdispersion (GVD) ∝ d²n/dλ² ist kritisch für die Pulskompression von Ultrakurzpuls-Lasern (CPA Mourou-Strickland, Nobelpreis 2018).

2. Sellmeier-Koeffizienten typischer Materialien

  • Quarzglas SiO₂ (Malitson 1965) — Basis der Lichtleitfasern Deutsche Telekom, 1&1, Vodafone Deutschland.
  • BK7 Borosilikat (Schott Mainz) — Carl-Zeiss-SMT-Standardglas.
  • SF11 Schwerflint (Schott) — hohe Dispersion, ν_d=25,76.
  • Saphir Al₂O₃ — hohe Härte, Laserfenster bei Schott Lithotec.
  • Silizium Si (Tatian 1984) — integrierte Photonik bei Fraunhofer IZM Berlin und IHP Frankfurt Oder.
  • Germanium Ge — IR-Optik für Wärmebildkameras von Jenoptik und Steinbichler.
  • ZnSe — CO₂-Laserfenster bei Trumpf.
  • CVD-Diamant — extreme IR-Optik.

3. Gültigkeitsbereich und Korrekturen

Sellmeier gilt für isotrope transparente Materialien in ihrem Spektralbereich (~200 nm-5 µm für Quarzglas). Nahe Absorptionsresonanzen (UV oder IR) divergiert Sellmeier und das vollständige Lorentz-Modell ist nötig. Für doppelbrechende Kristalle (Calcit, BBO, KTP) sind separate Sellmeier-Gleichungen für ordentliche n_o und außerordentliche n_e Strahlen erforderlich. Für dotierte Gläser oder Laserkristalle (Nd:YAG, Yb:KGW, Ti:Saphir) sind Korrekturen nötig. Gruppendispersion und GVD erfordern dn/dλ und d²n/dλ², kritisch für Ultrakurzpuls-Laser am MPI für Quantenoptik Garching und Max-Born-Institut Berlin. Codes Zemax OpticStudio, Code V, FRED, Lumerical FDTD implementieren alle Korrekturen.

4. Numerische Beispiele

Beispiel 1 — Quarzglas bei 1550 nm (Telekommunikation). n_silica(1550 nm) ≈ 1,4440 — übereinstimmend mit Corning-SMF-28-Tabellen.

Beispiel 2 — BK7 bei 587,56 nm (Na-D-Linie). n_d ≈ 1,5168, ν_d ≈ 63,8 (nahe tabuliertem 64,17).

Beispiel 3 — Silizium bei 1310 nm (Telekommunikation O-Band). n_Si(1310) ≈ 3,5037 — Basis der Si-Photonik bei Fraunhofer IZM Berlin und IHP Frankfurt Oder.

5. Praktische Anwendungen

  • Optisches Linsendesign: Carl Zeiss SMT Oberkochen, Schott Mainz, Hoya, Leica Mikrosysteme Wetzlar
  • Telekommunikations-Lichtleitfasern: Backbone-Netze Deutsche Telekom, 1&1, Vodafone Deutschland bei 1310/1550 nm
  • Integrierte Photonik: Fraunhofer IZM Berlin, IHP Frankfurt Oder, Forschungszentrum Jülich PGI-9
  • EUV-Lithographie: ASML-Scanner mit Carl-Zeiss-SMT-Optik
  • Ultrakurzpuls-Laser: MPI für Quantenoptik Garching, Max-Born-Institut Berlin, MPI Heidelberg, Trumpf Ditzingen verwenden Sellmeier für Dispersionsmanagement in fs- und Attosekundenlasern
  • Konfokale Mikroskopie: Immersionslinsen Carl Zeiss LSM, Leica DMi8, Olympus FV4000

6. Sonderfälle und fortgeschrittene Materialien

Für doppelbrechende Kristalle (Calcit, Quarz, BBO, KTP, LiNbO₃) werden separate Sellmeier-Gleichungen verwendet — fundamental für Polarisatoren und Frequenzverdopplung (SHG) am Max-Born-Institut Berlin und MPI Quantenoptik. Für nichtlineare Kristalle mit Phase-Matching wird der Ausbreitungswinkel aus Sellmeier berechnet. Für Photonic-Crystal-Fasern (PCF) und Hollow-Core-Fasern werden dispersive Eigenschaften aus Sellmeier-Material und geometrischer Struktur kombiniert, entwickelt am IPHT Jena, Fraunhofer HHI Berlin und MPI für die Physik des Lichts Erlangen. Für dotierte Materialien (Yb:KGW, Nd:YAG, Ti:Saphir) erfordert Sellmeier Korrekturen für Laser-Aktive-Ionen.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Sellmeier-Gleichung und warum ist sie wichtig?

Die Sellmeier-Gleichung (1872) beschreibt den Brechungsindex n(λ) eines optischen Materials über Summen resonanter Oszillatoren: n²(λ) = 1 + ΣBᵢλ²/(λ²-Cᵢ). Wilhelm Sellmeier leitete sie an der Universität Göttingen als Verbesserung der Cauchy-Gleichung (1836) her. Sie ist die Basis für Linsen-, Lichtleitfaser- und integrierte Photonik-Designs bei Carl Zeiss, Schott Mainz, Hoya, Corning.

Wie berechnet man n(λ) mit Sellmeier?

n²(λ) = 1 + B₁λ²/(λ²-C₁) + B₂λ²/(λ²-C₂) + B₃λ²/(λ²-C₃), mit λ in µm. Für BK7 (B₁=1,0396, B₂=0,2318, B₃=1,0105) bei λ=0,5876 µm: n≈1,5168. Für Quarzglas bei 1,55 µm: n≈1,444 (Telekom-Standard). Koeffizienten in Schott-, Hoya-, Ohara-Katalogen tabelliert.

Was ist die Abbe-Zahl?

ν_d = (n_d-1)/(n_F-n_C) quantifiziert die Dispersion eines Glases: n_d bei 587,6 nm (Fraunhofer-D), n_F bei 486,1 nm, n_C bei 656,3 nm. Crown-Gläser haben ν_d>50 (BK7=64,17, geringe Dispersion); Flint-Gläser ν_d<50 (SF11=25,76, hohe Dispersion). Kombination aus Crown und Flint ergibt achromatische Dubletten für Mikroskopie und Fotografie.

Was sind die Sellmeier-Koeffizienten für Quarzglas?

Für Quarzglas SiO₂ (Malitson 1965): B₁=0,6961663, B₂=0,4079426, B₃=0,8974794, C₁=0,0684043², C₂=0,1162414², C₃=9,896161². Gültiger Bereich 200 nm-3500 nm. n_silica(589 nm)=1,458, n(1310 nm)=1,447, n(1550 nm)=1,444. Basis des Designs von Corning- und OFS-Fasern für Deutsche Telekom und 1&1.

Welche Grenzen hat Sellmeier?

Gilt für isotrope transparente Materialien in ihrem Spektralbereich (~200 nm-5 µm für Quarzglas). Nahe Absorptionsresonanzen (UV oder IR) divergiert Sellmeier und das vollständige Lorentz-Modell mit Absorption ist nötig. Doppelbrechende Kristalle (Calcit, BBO) brauchen separate Sellmeier-Gleichungen. Dotierte Gläser (Nd:YAG) brauchen Korrektur. Ultrakurzpulse brauchen GVD = d²n/dλ².

Wie wird Sellmeier auf Telekom-Lichtleitfasern angewendet?

Quarzfaser-Singlemode arbeiten bei 1310 nm (O-Band, Null-Dispersion) und 1550 nm (C-Band, minimale Dämpfung 0,2 dB/km). Sellmeier berechnet n(λ) und chromatische Dispersion D = -λ/c · d²n/dλ², die bei 1550 nm ~17 ps/(nm·km) für undotiertes Quarzglas beträgt. DCF und DSF von Corning, eingesetzt von Deutsche Telekom, sind über Sellmeier konzipiert.

Wie wird Sellmeier auf integrierte Photonik angewendet?

Kristalline Silizium (Si SOI) Wellenleiter bei 1310/1550 nm haben n_Kern=3,50, n_Mantel=1,44 (Quarzglas). Sellmeier liefert n(λ) für das Design von MZI-Modulatoren, Richtkopplern, Ringresonatoren, WDM-Demultiplexern. Fraunhofer IZM Berlin, IHP Frankfurt Oder, FZJ Jülich PGI-9 entwickeln Si-Photonik-Chips für Datacenter, Biosensoren und Quantencomputing.

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