Comment calculer la dispersion chromatique avec l'équation de Sellmeier

Calculez l'indice de réfraction n(λ) de verres optiques, silice, saphir, Si, Ge avec l'équation de Sellmeier (1872) : n²(λ) = 1 + ΣBᵢλ²/(λ²-Cᵢ). Nombre d'Abbe, indice de groupe, GVD pour fibres optiques et lasers ultrarapides — base de Schott, Corning, Carl Zeiss, ASML, CEA-LETI.

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Comment calculer la dispersion chromatique avec l'équation de Sellmeier permet de déterminer précisément l'indice de réfraction n d'un matériau optique en fonction de la longueur d'onde λ. La formule a été dérivée en 1872 par Wilhelm Sellmeier (Université de Göttingen) comme amélioration empirique de Cauchy (1836). La forme standard à trois termes est n²(λ) = 1 + B₁λ²/(λ²-C₁) + B₂λ²/(λ²-C₂) + B₃λ²/(λ²-C₃), avec λ en micromètres. Pour le verre BK7 de Schott : B₁=1,03961212, B₂=0,231792344, B₃=1,01046945. C'est la base de la conception de lentilles photographiques, fibres optiques, systèmes de lithographie EUV, microscopie avancée et lasers — utilisée par Carl Zeiss SMT, Schott, Corning, CEA-LETI Grenoble, ESRF, Institut d'Optique Palaiseau, et industriels Sagem, Thales Optronique, Saint-Gobain.

1. L'équation de Sellmeier et le nombre d'Abbe

L'équation décrit la dispersion normale et anormale via sommes d'oscillateurs résonants. Le nombre d'Abbe ν_d = (n_d - 1)/(n_F - n_C) — n_d à 587,6 nm (raie D Fraunhofer), n_F à 486,1 nm, n_C à 656,3 nm — quantifie la dispersion : verres "crown" ν_d > 50 (BK7=64,17), "flint" ν_d < 50 (SF11=25,76). La dispersion de vitesse de groupe (GVD) ∝ d²n/dλ² est critique pour la compression d'impulsions laser ultracourtes (CPA Mourou-Strickland, Nobel 2018).

2. Coefficients de Sellmeier matériaux typiques

  • Silice fondue SiO₂ (Malitson 1965) — base des fibres Orange, SFR, Bouygues Telecom.
  • BK7 borosilicate (Schott) — verre Carl Zeiss SMT standard.
  • SF11 flint lourd — haute dispersion, ν_d=25,76.
  • Saphir Al₂O₃ — haute dureté, fenêtres laser, Saint-Gobain Crystals.
  • Silicium Si (Tatian 1984) — photonique intégrée CEA-LETI Grenoble, STMicroelectronics Crolles.
  • Germanium Ge — optique IR, vision nocturne Sagem.
  • ZnSe — fenêtres laser CO₂, ELI Beamlines.
  • Diamant CVD — optique IR extrême.

3. Domaine de validité et corrections

Sellmeier vaut pour matériaux transparents isotropes dans la plage d'applicabilité (~200 nm-5 µm pour silice). Près des résonances d'absorption (UV ou IR), Sellmeier diverge et le modèle Lorentz complet est nécessaire. Pour cristaux biréfringents (calcite, BBO, KTP), équations Sellmeier séparées pour rayons ordinaire et extraordinaire. Pour verres dopés (Nd:YAG, Ti:sapphire), corrections requises. Dispersion de groupe et GVD requièrent dn/dλ et d²n/dλ², critiques pour lasers ultracourts à ELI Beamlines, ELI-NP, et au LIDYL CEA Saclay. Codes Zemax, Code V (Synopsys), FRED, Lumerical FDTD implémentent toutes les corrections.

4. Exemples numériques

Exemple 1 — Silice fondue à 1550 nm (télécom). n_silice(1550 nm) ≈ 1,4440 — concorde avec tables Corning pour fibre SMF-28.

Exemple 2 — BK7 à 587,56 nm (raie Na D). n_d ≈ 1,5168, ν_d ≈ 63,8 (proche du tabulé 64,17).

Exemple 3 — Silicium à 1310 nm (télécom O-band). n_Si(1310) ≈ 3,5037 — base de la photonique Si au CEA-LETI Grenoble et STMicroelectronics Crolles.

5. Applications pratiques

  • Conception de lentilles optiques : Carl Zeiss, Schott, Hoya, Sagem, Thales Optronique
  • Fibres optiques télécom : réseaux Orange, SFR, Bouygues Telecom, Free à 1310/1550 nm
  • Photonique intégrée : CEA-LETI Grenoble, IEMN Lille, STMicroelectronics Crolles
  • Lithographie EUV : ASML EUV scanners
  • Lasers ultrarapides : ELI Beamlines, ELI-NP, LIDYL CEA Saclay, Institut d'Optique Palaiseau usent Sellmeier pour gestion de dispersion en lasers fs et attoseconde
  • Microscopie confocale : lentilles immersion Leica Mikrosysteme, Olympus, Nikon, Zeiss au CEA Saclay et Institut Pasteur

6. Cas particuliers et matériaux avancés

Pour cristaux biréfringents (calcite, BBO, KTP, LiNbO₃) on utilise des équations Sellmeier séparées — fondamentales pour polariseurs et génération de seconde harmonique (SHG) à ELI-NP et LIDYL CEA. Pour cristaux non linéaires de phase-matching, l'angle de propagation est calculé depuis Sellmeier. Pour fibres photonic crystal (PCF) et hollow-core, propriétés dispersives combinent Sellmeier du matériau avec structure géométrique, développées au CEA-LETI Grenoble et IEMN Lille. Pour matériaux dopés (Yb:KGW, Nd:YAG, Ti:sapphire), Sellmeier requiert corrections.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que l'équation de Sellmeier et pourquoi est-elle importante ?

L'équation de Sellmeier (1872) décrit l'indice de réfraction n(λ) d'un matériau optique via sommes d'oscillateurs résonants : n²(λ) = 1 + ΣBᵢλ²/(λ²-Cᵢ). Wilhelm Sellmeier l'a dérivée à l'Université de Göttingen comme amélioration de Cauchy (1836). C'est la base de la conception de lentilles, fibres optiques, photonique intégrée — utilisée par Carl Zeiss, Schott, Corning, CEA-LETI.

Comment calcule-t-on n(λ) avec Sellmeier ?

n²(λ) = 1 + B₁λ²/(λ²-C₁) + B₂λ²/(λ²-C₂) + B₃λ²/(λ²-C₃), avec λ en µm. Pour BK7 (B₁=1,0396, B₂=0,2318, B₃=1,0105) à λ=0,5876 µm : n≈1,5168. Pour silice fondue à 1,55 µm : n≈1,444 (standard télécom). Coefficients tabulés dans les catalogues Schott, Hoya, Ohara.

Qu'est-ce que le nombre d'Abbe ?

ν_d = (n_d-1)/(n_F-n_C) quantifie la dispersion d'un verre : n_d à 587,6 nm (raie D Fraunhofer), n_F à 486,1 nm (F), n_C à 656,3 nm (C). Verres crown ν_d>50 (BK7=64,17, faible dispersion) ; flint ν_d<50 (SF11=25,76, forte dispersion). Combiner crown et flint donne doublets achromatiques pour microscopie et photographie.

Quels sont les coefficients de Sellmeier pour la silice ?

Pour silice fondue SiO₂ (Malitson 1965) : B₁=0,6961663, B₂=0,4079426, B₃=0,8974794, C₁=0,0684043², C₂=0,1162414², C₃=9,896161². Plage valide 200-3500 nm. n_silice(589 nm)=1,458, n(1310 nm)=1,447, n(1550 nm)=1,444. Base de la conception de fibres Corning et des lentilles UV-fused-silica de Carl Zeiss SMT.

Quelles sont les limites de Sellmeier ?

Vaut pour matériaux transparents isotropes dans leur plage (~200 nm-5 µm pour silice). Près des résonances d'absorption (UV ou IR), Sellmeier diverge et le modèle Lorentz complet est nécessaire. Cristaux biréfringents (calcite, BBO) ont besoin de Sellmeier séparées. Verres dopés (Nd:YAG) requièrent correction. Impulsions ultracourtes ont besoin de GVD = d²n/dλ².

Comment Sellmeier s'applique aux fibres optiques télécom ?

Les fibres silice singlemode opèrent à 1310 nm (O-band, dispersion zéro) et 1550 nm (C-band, atténuation minimale 0,2 dB/km). Sellmeier calcule n(λ) et la dispersion chromatique D = -λ/c · d²n/dλ², qui à 1550 nm vaut ~17 ps/(nm·km). La compensation avec DCF et DSF de Corning et OFS, utilisées par Orange et SFR, est conçue via Sellmeier.

Comment Sellmeier s'applique à la photonique intégrée ?

Les guides d'ondes en silicium cristallin (Si SOI) à 1310/1550 nm ont n_cœur=3,50, n_gaine=1,44 (silice). Sellmeier donne n(λ) pour concevoir modulateurs MZI, coupleurs directionnels, résonateurs en anneau, démultiplexeurs WDM. CEA-LETI Grenoble, IEMN Lille, STMicroelectronics Crolles développent puces Si pour data centers et biocapteurs.

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