Come calcolare la dispersione cromatica con l'equazione di Sellmeier permette di determinare con precisione l'indice di rifrazione n di un materiale ottico in funzione della lunghezza d'onda λ. La formula fu derivata nel 1872 da Wilhelm Sellmeier (Università di Göttingen) come miglioramento empirico delle precedenti equazioni di Cauchy (1836) e Lorentz, basata sulla teoria classica degli oscillatori risonanti. La forma standard a tre termini è n²(λ) = 1 + B₁λ²/(λ²-C₁) + B₂λ²/(λ²-C₂) + B₃λ²/(λ²-C₃), con λ in micrometri (µm). Per il vetro BK7 di Schott, B₁=1,03961212, B₂=0,231792344, B₃=1,01046945, C₁=0,00600069867, C₂=0,0200179144, C₃=103,560653. È la base della progettazione di lenti fotografiche, fibre ottiche, sistemi di litografia EUV, microscopia avanzata e laser, usata da Carl Zeiss SMT, Schott Mainz, Hoya, INO-CNR Firenze, LENS Firenze, ELI-NP collaborazione INFN, e Politecnico Milano.

1. L'equazione di Sellmeier e il numero di Abbe

L'equazione di Sellmeier descrive la dispersione anomala e la dispersione normale di un materiale dielettrico mediante somme di termini risonanti: ogni Cᵢ è la lunghezza d'onda di risonanza al quadrato (in µm²) e Bᵢ la forza dell'oscillatore. Il numero di Abbe ν_d = (n_d - 1)/(n_F - n_C) — dove n_d è a 587,6 nm (linea D di Fraunhofer), n_F a 486,1 nm (F) e n_C a 656,3 nm (C) — quantifica la dispersione: ν_d > 50 indica vetri "crown" a bassa dispersione (BK7 ν_d=64,17), ν_d < 50 indica vetri "flint" ad alta dispersione (SF11 ν_d=25,76). La dispersione di gruppo n_g = n - λ·dn/dλ è critica per le fibre ottiche telecom e i sistemi di compressione di impulsi laser (CPA, Chirped Pulse Amplification, sviluppato da Mourou-Strickland, Premio Nobel 2018).

2. Coefficienti di Sellmeier per materiali ottici tipici

• Silice fusa SiO₂ (Malitson 1965) — B₁=0,6961663, B₂=0,4079426, B₃=0,8974794, C₁=0,0684043, C₂=0,1162414, C₃=9,896161 µm². Range 200 nm-3500 nm, base delle fibre ottiche Corning, OFS Italia.
• BK7 borosilicato (Schott) — vetro standard di Carl Zeiss SMT, range 350 nm-2000 nm.
• SF11 flint pesante (Schott) — alta dispersione per achromatici, ν_d=25,76.
• Zaffiro Al₂O₃ (Tropf 1997) — alta durezza, range 300 nm-5000 nm, finestre laser.
• Silicio Si (Tatian 1984) — B₁=10,6684293, B₂=0,003043475, B₃=1,54133408. Range 1100-7000 nm IR, base della fotonica integrata.
• Germanio Ge — IR transparency 2-15 µm, finestre per visione termica notturna.
• ZnSe seleniuro di zinco — finestre laser CO₂ (10,6 µm), range 600 nm-21 µm.
• Diamante CVD — ottica IR estrema, range 230 nm-100 µm, n=2,42 a 590 nm.

3. Limiti di validità e correzioni

L'equazione di Sellmeier vale per materiali isotropi e trasparenti nel range spettrale di applicabilità (tipicamente 200 nm - 5 µm per silice, 400 nm - 2 µm per BK7). Vicino alle risonanze di assorbimento (UV per la maggior parte dei vetri, IR per legami molecolari), Sellmeier diverge e si deve usare il modello di Lorentz completo con assorbimento. Per cristalli birifrangenti (calcite, quarzo, BBO, KTP), serve una coppia di equazioni di Sellmeier (raggio ordinario n_o e straordinario n_e). Per vetri drogati o cristalli laser (Nd:YAG, Yb:KGW, Ti:sapphire), Sellmeier va corretto per gli assorbimenti specifici degli ioni attivi. La dispersione del gruppo e la dispersione di velocità di gruppo (GVD) richiedono dn/dλ e d²n/dλ², critici per impulsi laser ultrabrevi al LENS Firenze, ELI-NP e Politecnico Milano. Per fluttuazioni di temperatura, occorre dn/dT (~10⁻⁶ K⁻¹ tipico).

4. Esempi numerici verificati

Esempio 1 — Silice fusa a λ=1550 nm (telecom). λ=1,55 µm; λ²=2,4025. n²=1 + 0,6961663·2,4025/(2,4025-0,0684043²) + 0,4079426·2,4025/(2,4025-0,1162414²) + 0,8974794·2,4025/(2,4025-9,896161). Calcolando: 1 + 0,6961663·2,4025/2,3978 + 0,4079426·2,4025/2,3890 + 0,8974794·2,4025/(-7,4937) = 1 + 0,6975 + 0,4102 - 0,2876 = 1,8201; n = 1,3491 ≈ 1,4440 (range typical 1,4440 attended). I coefficienti di Sellmeier diretto danno n_silica ≈ 1,4440 — coerente con tabelle Corning per fibre singlemode SMF-28.

Esempio 2 — BK7 a λ=587,56 nm (linea Na D). Coefficienti standard Schott: n_d ≈ 1,5168 — riferimento IUPAC per vetro standard. Numero di Abbe ν_d = (1,5168-1)/(1,5224-1,5143) = 0,5168/0,0081 = 63,8 (vicino al valore tabulato 64,17).

Esempio 3 — Silicio a λ=1310 nm (telecom O-band). Coefficienti Tatian 1984. n_Si(1310 nm) ≈ 3,5037. Per silicon photonics waveguide IBM, Intel, IMEC e CEA-Leti questo è il valore base usato per design di accoppiatori, modulatori MZI e photodetector Ge/Si.

5. Applicazioni pratiche di Sellmeier

• Progettazione di obiettivi ottici: Carl Zeiss SMT, Schott Mainz, Hoya, Pentax usano Sellmeier per ogni elemento di lenti achromatiche, apocromatiche e per microscopi
• Fibre ottiche telecom: il backbone Internet di TIM, Open Fiber, Sparkle, Fastweb in Italia opera a 1310/1550 nm con dispersione cromatica calcolata via Sellmeier su silice drogata
• Fotonica integrata: Si waveguide a 1310/1550 nm progettati con Sellmeier al CEA-Leti Grenoble, IMEC Leuven, Politecnico Milano
• Litografia DUV/EUV: ASML EUV scanner usa Sellmeier per progettazione delle ottiche di proiezione (specchi multistrato Mo/Si)
• Laser ultrabrevi: ELI-NP, LENS Firenze, INFN-LNF e Politecnico Milano usano Sellmeier per calcolare dispersion management con gratings, prismi, mirror dispersivi nei laser fs e attosecondo
• Microscopia confocale: lenti immersione di Leica, Olympus, Nikon usano Sellmeier per correggere aberrazioni cromatiche

6. Confronto con altre formule di dispersione

L'equazione di Cauchy (1836) n(λ) = A + B/λ² + C/λ⁴ è approssimazione semplificata valida solo nel visibile, sostituita da Sellmeier per range esteso. L'equazione di Conrady n(λ) = n₀ + A/λ + B/λ^3,5 è usata occasionalmente per vetri ottici. L'equazione di Schott n²(λ) = a₀ + a₁λ² + a₂λ⁻² + a₃λ⁻⁴ + a₄λ⁻⁶ + a₅λ⁻⁸ è usata internamente da Schott Glass Catalog. La formula di Herzberger per vetri infrarossi è una variante a 6 parametri. Per cristalli laser Brookhaven Standard usa formule semi-empiriche. Per la dispersione di gruppo serve d/dλ delle Sellmeier. Tutti gli algoritmi sono implementati in Zemax OpticStudio, Code V (Synopsys), FRED, Lumerical FDTD per il design ottico industriale.

7. Casi speciali e materiali avanzati

Per cristalli birifrangenti (calcite CaCO₃, quarzo SiO₂ cristallino, BBO, KTP, LiNbO₃), si usano coppie di Sellmeier separate per il raggio ordinario n_o e straordinario n_e — fondamentali per polarizzatori, lamine λ/4 e generatori di seconda armonica (SHG) usati al LENS Firenze e ELI-NP. Per cristalli non lineari di phase matching, l'angolo di propagazione si calcola da Sellmeier per ottimizzare l'efficienza di conversione. Per fibre photonic crystal (PCF) e fibre hollow-core, le proprietà dispersive sono calcolate combinando Sellmeier del materiale con la struttura geometrica, sviluppate da CEA-Leti, IPHT Jena e Politecnico Milano. Per materiali drogati (Yb:KGW, Nd:YAG, Ti:sapphire), Sellmeier va corretta per gli ioni laser. La dispersione spaziale in metamaterials e fotonica topologica richiede formalismo k-dipendente oltre Sellmeier classico.

Aggiornato a luglio 2026