Rydberg-Formel-Rechner (Wasserstoff-Atomspektrum)

Rydberg-Formel-Rechner für Wasserstoff-Spektrum: 1/lambda = R(1/n1^2 - 1/n2^2). Lyman UV, Balmer sichtbar, Paschen IR. Wasserstoffähnliche Atome mit Z.

Berechnungsparameter
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Rydberg-Formel

Rydberg 1888: 1/lambda = R(1/n1^2 - 1/n2^2). R = 1.0974e7 m^-1. n1, n2 ganzzahlig mit n2 > n1.

H-alpha-Beispiel

n2=3 -> n1=2: lambda = 656.4 nm (rot). f = 4.567e14 Hz. E = 1.89 eV.

Spektrale Serien

n1NameJahrLimite
1Lyman190691.2 nm UV
2Balmer1885364.6 nm sichtbar
3Paschen1908820.4 nm IR
4Brackett19221458 nm IR
5Pfund19242279 nm IR
6Humphreys19533282 nm IR

Bemerkenswerte Balmer-Linien

  • H-alpha 656.281 nm rot.
  • H-beta 486.135 nm Cyan.
  • H-gamma 434.047 nm violett.
  • H-delta 410.174 nm.
  • H-epsilon 397.007 nm UV.

Wasserstoffähnliche Atome

R_Z = R Z^2. He+ (Z=2): 4x H. Li2+ (Z=3): 9x. Fe25+: 676x astrophysisch.

Bohr-Modell

Bohr 1913: Bahnen L = n hbar, Coulomb-Gleichgewicht, E_n = -13.6/n^2 eV. Leitet R aus Fundamentalen ab.

Ionisationsenergie

R h c = 13.605 eV (H). Für Z: 13.605 Z^2 eV. He+ 54.4, Li2+ 122.4.

Grenzen

  • Nur H und wasserstoffähnliche.
  • Keine Feinstruktur.
  • Keine Hyperfeinstruktur.
  • Keine Zeeman/Stark.
  • Lamb-Verschiebung QED.

Astronomische Spektroskopie

  • 21 cm H galaktisch.
  • Quasar Lyman-alpha-Wald.
  • H II Nebel H-alpha.
  • Sterne Balmer-Absorption.
  • Sonne Fraunhofer C, F.
  • Exoplaneten Transit.
  • Kosmologie Rekombination CMB.

Geschichte

Ångström 1853 Balmer-Messungen. Balmer 1885 sichtbare Formel. Rydberg 1888 verallgemeinert. Lyman 1906. Paschen 1908. Bohr 1913 leitet R ab. Sommerfeld 1916. Schrödinger 1926. Dirac 1928.

Rechnermodi

Fünf: lambda aus n1 n2, Frequenz und Energie, Serien (5 Linien), wasserstoffähnlich Z, Übergang aus lambda identifizieren.

Das Bohr-Modell: die Rydberg-Konstante herleiten

Rydbergs Formel war ein Triumph der Mustererkennung, aber sie war rein empirisch: sie passte die beobachteten Wasserstoffwellenlangen wunderbar an, ohne zu erklaren, warum uberhaupt ganze Zahlen erscheinen sollten. Diese Erklarung kam 1913 mit Niels Bohr. Er postulierte, dass ein Elektron nur Bahnen einnehmen kann, in denen sein Drehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches der Planck-Konstante geteilt durch zwei Pi ist, und quantisierte die Energie des Atoms in eine Leiter diskreter Niveaus, gegeben durch minus 13,6 Elektronenvolt geteilt durch n zum Quadrat. Ein Photon wird nur emittiert oder absorbiert, wenn das Elektron zwischen zwei Sprossen springt, und seine Energie ist genau die Differenz zwischen ihnen.

Aus dieser einzigen Quantisierungsregel folgt die Rydberg-Formel, wobei die Konstante nicht mehr gemessen, sondern berechnet wird. Setzt man die Photonenenergie gleich der Lucke zwischen Niveau n2 und Niveau n1, reproduziert man eins durch lambda gleich R mal die Differenz der inversen Quadrate, und R selbst ergibt sich als Kombination aus Elektronenmasse und -ladung, Planck-Konstante und Lichtgeschwindigkeit. Der berechnete Wert stimmte innerhalb des experimentellen Fehlers mit dem spektroskopischen uberein, eine verbluffende Bestatigung, die eine empirische Kuriositat zu einem Eckstein der Quantentheorie machte. Spatere Arbeiten von Schrodinger und Dirac verfeinerten das Bild, aber Bohrs einfache Leiter erklarte bereits die ganzen Zahlen.

Spektrale Fingerabdrucke: wie sich Atome verraten

Da jedes Element seinen eigenen Satz von Energieniveaus hat, emittiert und absorbiert es Licht nur bei einem einzigartigen Muster von Wellenlangen, einem spektralen Fingerabdruck, so unverwechselbar wie ein Strichcode. Erhitzt man ein Gas, leuchtet es in scharfen Emissionslinien; schickt man weisses Licht hindurch, erscheinen dieselben Wellenlangen als dunkle Absorptionslinien. Das ist die Grundlage der Spektroskopie und erlaubt Chemikern, Substanzen allein an ihrem Licht zu erkennen. Die Balmer-Linien des Wasserstoffs, die die Rydberg-Formel so genau beschreibt, gehoren zu den erkennbarsten Signaturen der gesamten Wissenschaft.

Die Reichweite dieser Idee ist kosmisch. Astronomen konnen keinen Stern besuchen, aber indem sie sein Licht in ein Spektrum zerlegen, lesen sie ab, welche Elemente er enthalt, wie heiss er ist und wie schnell er sich bewegt. Helium wurde 1868 im Spektrum der Sonne entdeckt, Jahre bevor es auf der Erde gefunden wurde, und nach dem griechischen Wort fur Sonne benannt. Eine Verschiebung des gesamten Linienmusters zum Roten verrat eine sich entfernende Galaxie, der Doppler-Effekt, der erstmals zeigte, dass sich das Universum ausdehnt. Die bescheidenen Wasserstoffubergange, die hier berechnet werden, uber Milliarden Lichtjahre rotverschoben, sind die Massstabe, mit denen Kosmologen den Kosmos vermessen.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Rydberg-Formel?

Es ist die Formel, die die Wellenlangen der Spektrallinien des Wasserstoffs liefert: 1/lambda = R (1/n1^2 - 1/n2^2), wobei R die Rydberg-Konstante (etwa 1,0974 x 10^7 m^-1) und n1, n2 ganze Zahlen mit n2 > n1 sind. 1888 von Johannes Rydberg formuliert, verallgemeinert sie die Balmer-Serie.

Was stellen n1 und n2 dar?

Es sind die Hauptquantenzahlen der beiden an der Elektronenubergang beteiligten Energieniveaus. n1 ist das untere Niveau (End- bei Emission) und n2 das obere (Anfang), mit n2 > n1. Die Differenz ihrer inversen Quadrate legt die Energie und damit die Wellenlange des emittierten oder absorbierten Photons fest.

Was sind die Spektralserien des Wasserstoffs?

Jede Serie ist durch das Endniveau n1 definiert: Lyman (n1=1, Ultraviolett), Balmer (n1=2, sichtbar), Paschen (n1=3, Infrarot), Brackett (n1=4), Pfund (n1=5) und Humphreys (n1=6). Die Balmer-Serie enthalt die beruhmten sichtbaren Linien wie die rote H-alpha bei 656 nm.

Was ist die Rydberg-Konstante?

Es ist die Konstante R = 1,0974 x 10^7 m^-1, die die Skala aller Wellenlangen im Wasserstoffspektrum festlegt. Zunachst empirisch, wurde sie 1913 von Bohr als Kombination aus Elektronenmasse und -ladung, Planck-Konstante und Lichtgeschwindigkeit hergeleitet. Der berechnete Wert stimmte mit dem gemessenen uberein.

Wie leitet Bohr die Formel her?

Bohr (1913) postulierte quantisierte Energieniveaus E_n = -13,6/n^2 eV. Ein Photon wird emittiert, wenn das Elektron von n2 nach n1 springt, und seine Energie ist die Differenz E_n2 - E_n1. Setzt man diese Energie gleich hc/lambda, erhalt man genau die Rydberg-Formel, mit R aus den Grundgrossen berechnet statt gemessen.

Wie wendet man sie auf wasserstoffahnliche Atome an?

Ein wasserstoffahnliches Atom hat ein einziges Elektron, aber einen Kern der Ladung Z (He+, Li2+ usw.). Die Formel wird 1/lambda = R Z^2 (1/n1^2 - 1/n2^2): die Wellenlangen verkurzen sich um einen Faktor Z^2. Die Energieniveaus betragen E_n = -13,6 Z^2/n^2 eV. Der Rechner verarbeitet jedes Z.

Wie identifiziert man einen Ubergang aus einer beobachteten Linie?

Man vergleicht die gemessene Wellenlange mit den von der Formel vorhergesagten fur alle plausiblen Paare (n1, n2) und wahlt die beste Ubereinstimmung. Ein sehr kleiner relativer Fehler deutet auf Wasserstoff oder ein wasserstoffahnliches Ion; ein grosserer Fehler legt ein anderes Element nahe. Der Rechner fuhrt diese Suche automatisch durch.

Wozu dient die Rydberg-Formel?

Zum Berechnen und Identifizieren der Spektrallinien von Wasserstoff und wasserstoffahnlichen Atomen, zum Studium der Atomstruktur und in der Astronomie zur Bestimmung von Zusammensetzung, Temperatur und Geschwindigkeit von Sternen und Galaxien aus ihren Spektren. Die Rotverschiebung der Wasserstofflinien misst die Ausdehnung des Universums.

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