Formula di Rydberg

Johannes Rydberg (1888) generalizzo le formule empiriche per le lunghezze d onda dello spettro dell idrogeno:

1/lambda = R (1/n1^2 - 1/n2^2)

dove R = 1.0974 * 10^7 m^-1 (costante di Rydberg per idrogeno), n1 e n2 sono interi positivi con n2 > n1. Per emissione: elettrone passa da n2 a n1 emettendo fotone. Per assorbimento: il contrario, n1 -> n2.

Esempio numerico: linea H-alpha (Balmer)

Transizione n2 = 3 -> n1 = 2 (rossa visibile):

• 1/lambda = 1.0974e7 * (1/4 - 1/9) = 1.0974e7 * 0.1389 = 1.524e6 m^-1.
• lambda = 6.564 * 10^-7 m = 656.4 nm (rosso visibile, primissima linea Balmer).
• Frequenza: f = c/lambda = 4.567 * 10^14 Hz.
• Energia fotone: E = hf = 1.89 eV.

Tabulato lambda H-alpha = 656.281 nm (NIST). Eccellente accordo (errore < 0.02%).

Serie spettrali dell idrogeno

Le linee spettrali si raggruppano in serie a seconda di n1 (livello finale):

Limite della serie: per n2 -> infinito, 1/lambda_inf = R/n1^2. Equivalente a ionizzazione da quel livello.

Linee notevoli di Balmer

Serie di Balmer (n1 = 2), unica visibile a occhio nudo, fondamentale per spettroscopia:

• H-alpha (n=3->2): 656.281 nm (rosso). Linea più intensa, nelle nebulose H II.
• H-beta (4->2): 486.135 nm (blu-verde, ciano).
• H-gamma (5->2): 434.047 nm (violetto).
• H-delta (6->2): 410.174 nm (violetto profondo).
• H-epsilon (7->2): 397.007 nm (UV vicino).
• ...fino al limite Balmer 364.6 nm (UV vicino).

Visibili nello spettro del Sole (linee Fraunhofer C, F nel rosso/blu), nebulose, stelle calde.

Atomi idrogenoidi (Z generico)

Per ioni con un solo elettrone (He+, Li2+, Be3+, ...): R_Z = R * Z^2.

1/lambda = R Z^2 (1/n1^2 - 1/n2^2)

Esempi:

• He+ (Z=2): linee 4 volte più energetiche di H. H-alpha He+ analoga: 164.0 nm (UV).
• Li2+ (Z=3): 9x H. H-alpha Li2+: 72.9 nm (EUV).
• Fe25+ (Z=26): rilevante in plasmi astronomici, lambda 1000x H.

Spostamento isotopico: R dipende dalla massa ridotta. R_H (idrogeno) leggermente diverso da R_inf (massa nucleare infinita): R_H = R_inf * (1 - m_e/M_p) ~ 1.0967e7 m^-1.

Derivazione: modello di Bohr

Niels Bohr (1913) deriva la formula di Rydberg da postulati semiclassici:

1. Orbite quantizzate: solo orbite con momento angolare L = n hbar permesse (n intero positivo).
2. Bilancio centripeta-Coulomb: m v^2/r = k e^2/r^2, da cui v(n) e r(n).
3. Energia totale: E_n = -k^2 m e^4 / (2 hbar^2 n^2) = -13.6/n^2 eV.
4. Salto: E_fotone = E_n2 - E_n1 = h f, da cui formula di Rydberg con R = m e^4 / (8 epsilon_0^2 h^3 c).

Costante R derivata dai parametri fondamentali: ottimo accordo con valore sperimentale. Successo iniziale di Bohr, base per la futura meccanica quantistica.

Energia di ionizzazione

Per portare elettrone da n=1 a infinito:

E_ion = R h c / 1^2 = 13.605 eV (idrogeno).

Per Z generico: E_ion = 13.605 Z^2 eV. He+: 54.4 eV. Li2+: 122.4 eV. Notevole: l aumento e quadratico in Z, per questo i raggi X provengono da elettroni interni di atomi pesanti.

Limiti del modello

• Solo idrogeno e idrogenoidi: per atomi multi-elettrone serve schermatura, struttura fine, hartree-fock.
• Assenza di struttura fine: la formula non spiega i sottolivelli (relativistici + spin-orbita). Sommerfeld (1916) introduce orbite ellittiche con correzione fine.
• Nessuna struttura iperfine: interazione magnetica nucleare (es. linea 21 cm dell H neutro a 1420 MHz, dovuta a struttura iperfine).
• Nessun effetto Zeeman/Stark: in campi magnetici/elettrici esterni, le linee si sdoppiano.
• Lamb shift: differenza tra 2S e 2P_1/2 dell H (1057 MHz, 1947): spiegata solo da QED.

Spettroscopia astronomica

• Idrogeno galattico: linea 21 cm rivela H atomico nelle galassie. Mappa rotazione galattica, materia oscura.
• Quasar: linee di Lyman in red-shift, distanze cosmologiche.
• Nebulose H II: H-alpha rivela regioni di formazione stellare (rosso intenso).
• Stelle: linee di Balmer in assorbimento, classificazione spettrale (O, B, A, F, G, K, M).
• Atmosfera solare: linee Fraunhofer C (H-alpha) e F (H-beta).
• Esopianeti: trasmissione H-alpha attraverso atmosfere planetarie.
• Cosmologia: ricombinazione (z = 1100), CMB Lyman-alpha.

Storia

Anders Angstrom (1853): misura accurata 4 prime linee Balmer. Johann Balmer (1885): formula empirica per serie visibile, lambda = B n^2/(n^2 - 4) con B = 364.5 nm. Walter Ritz (1908): principio di combinazione. Johannes Rydberg (1888): generalizzazione 1/lambda = R(1/n1^2 - 1/n2^2). Theodore Lyman (1906): scopre serie UV (n1=1). Friedrich Paschen (1908): serie IR (n1=3). Niels Bohr (1913): modello atomico, deriva R da costanti fondamentali. Sommerfeld (1916): correzioni relativistiche. Schrodinger (1926): trattamento quantistico completo via meccanica ondulatoria. Dirac (1928): equazione relativistica, predice antimateria.

Modalita del calcolatore

Cinque modalita: lambda da n1, n2 (Rydberg standard); frequenza ed energia fotone; serie spettrali (Lyman/Balmer/Paschen) con prime 5 linee e limite; atomo idrogenoide con Z generico (He+, Li2+, ...); identifica transizione data lambda osservata (best fit n1, n2). Output include regione spettrale (UV/visibile/IR) e nome serie storica.

Aggiornato a luglio 2026