Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen 90°-Winkel. Die Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten (a, b); die gegenüberliegende (längste) Seite ist die Hypotenuse (c). Die beiden anderen Winkel sind spitz und komplementär: α + β = 90°. Das rechtwinklige Dreieck ist grundlegend für Trigonometrie, den Satz des Pythagoras, analytische Geometrie. Kennt man zwei beliebige Werte unter a, b, c, α, β (außer nur den beiden Winkeln), sind alle anderen Elemente bestimmt.

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras (6. Jh. v. Chr.) verbindet die drei Seiten: c² = a² + b², äquivalent c = √(a² + b²). Katheten: a = √(c² − b²), b = √(c² − a²). Berühmte pythagoreische Tripel (ganzzahlige Seiten): (3, 4, 5); (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Alle primitiven Tripel entstehen aus teilerfremden m > n > 0 unterschiedlicher Parität: a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n².

Trigonometrie

Für den spitzen Winkel α gegenüber der Kathete a: sin α = a/c (Gegenkathete/Hypotenuse); cos α = b/c (Ankathete/Hypotenuse); tan α = a/b. Reziproke: csc α = c/a, sec α = c/b, cot α = b/a. Winkel aus Seiten: α = arctan(a/b) = arcsin(a/c) = arccos(b/c). Beispiel: a = 3, b = 4 → c = 5, α = arctan(3/4) ≈ 36,87°, β ≈ 53,13°.

Fläche und Umfang

Fläche: A = ½ · a · b (Katheten als Basis und Höhe). Alternativ A = ½·c²·sin α·cos α = (c²·sin 2α)/4. Umfang: P = a + b + c. Halbumfang s = P/2 wird in fortgeschrittenen Formeln verwendet. Beispiel 3-4-5: A = 6, P = 12.

Höhe auf die Hypotenuse

Die Höhe auf die Hypotenuse h (senkrechter Abstand vom rechten-Winkel-Eckpunkt zur Hypotenuse): Fläche = ½·c·h → h = a·b/c. Sie teilt die Hypotenuse in Abschnitte p, q mit p + q = c und h² = p·q (Höhensatz des Euklid). Ferner: a² = p·c, b² = q·c (Kathetensatz). Beispiel 3-4-5: h = 2,4; p = 1,8; q = 3,2.

In- und Umkreis

Der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks hat als Durchmesser die Hypotenuse (Satz des Thales: jedes in einem Halbkreis einbeschriebene Dreieck ist rechtwinklig): R = c/2. Mittelpunkt = Mittelpunkt der Hypotenuse. Der Inkreis hat Radius r = A/s = (a + b − c)/2. Beispiel 3-4-5: R = 2,5; r = 1.

Seitenhalbierende und Schwerpunkt

Der Schwerpunkt G liegt 1/3 von der Basis jeder Seitenhalbierenden entfernt. Seitenhalbierende: m_a = ½·√(2b² + 2c² − a²); m_b analog; m_c = c/2 (die Seitenhalbierende zur Hypotenuse ist immer halb so lang wie die Hypotenuse — spezifisch für rechtwinklige Dreiecke). Der Höhenschnittpunkt fällt mit dem rechten Winkel zusammen; der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt der Hypotenuse.

Bemerkenswerte Winkel

Rechtwinklige Dreiecke mit bemerkenswerten Winkeln haben exakte Seitenverhältnisse: 30-60-90: 1 : √3 : 2 (kleine Kathete : große Kathete : Hypotenuse). 45-45-90 (gleichschenklig rechtwinklig): 1 : 1 : √2. Beispiele: 30-60-90 mit kleiner Kathete 1 → große Kathete √3 ≈ 1,732, Hypotenuse 2. 45-45-90 mit Kathete 1 → Hypotenuse √2 ≈ 1,414. Diese Verhältnisse sind merkfreundlich und nützlich in der exakten Geometrie.

Bedienung

Vier Modi: zwei Katheten (a, b → c, Winkel, Fläche, h); Kathete und Hypotenuse (a oder b, c → andere Kathete); Kathete und Winkel (a, α → b, c); Hypotenuse und Winkel (c, α → a, b). Der Rechner liefert: fehlende Seiten, beide Winkel, Fläche, Umfang, Höhe auf die Hypotenuse, In- und Umkreisradius. Winkel in Grad. Konsistenzprüfung automatisch (Kathete < Hypotenuse; Winkel < 90°).

Der Satz des Pythagoras und pythagoreische Tripel

Das rechtwinklige Dreieck wird vom Satz des Pythagoras beherrscht: c² = a² + b², wobei c die Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) und a, b die Katheten sind. Obwohl Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) zugeschrieben, war das Ergebnis den Babyloniern tausend Jahre früher bekannt: die Tafel Plimpton 322 (um 1800 v. Chr.) listet Dutzende pythagoreische Tripel auf, Tripel ganzer Zahlen, die die Beziehung erfüllen. Die berühmtesten sind 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 und 7-24-25. Das Tripel 3-4-5 wird noch heute im Bauwesen genutzt, um rechte Winkel ohne Winkelmaß abzustecken: drei Schnüre von 3, 4 und 5 Einheiten genügen. Euklid gab in den Elementen einen strengen Beweis, und seine Verallgemeinerung auf Exponenten größer als 2 ist der Große Fermatsche Satz, erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen.

Umkreis, Inkreis und bemerkenswerte Beziehungen

Das rechtwinklige Dreieck hat elegante geometrische Eigenschaften. Nach dem Satz des Thales ist jeder in einem Halbkreis einbeschriebene Winkel rechtwinklig: daher fällt die Hypotenuse mit dem Durchmesser des Umkreises zusammen, und der Umkreisradius ist R = c/2. Der Inkreisradius beträgt r = (a + b − c)/2, eine einfache, nur für rechtwinklige Dreiecke gültige Formel. Die Höhe auf der Hypotenuse, h = a·b/c, ist das geometrische Mittel der beiden Projektionen der Katheten auf die Hypotenuse (zweiter Satz des Euklid). Die spitzen Winkel sind komplementär (α + β = 90°) und ergeben sich aus den trigonometrischen Verhältnissen: sin α = a/c, cos α = b/c, tan α = a/b. Diese Beziehungen sind grundlegend in Vermessung und Bauwesen.

Aktualisiert im Juli 2026