Il triangolo rettangolo

Un triangolo rettangolo è un triangolo con un angolo di 90°. I lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti (a, b); il lato opposto, sempre il più lungo, è l'ipotenusa (c). Gli altri due angoli sono acuti (< 90°) e complementari: α + β = 90°. Il triangolo rettangolo è la base di molta matematica: trigonometria, teorema di Pitagora, numeri complessi (esponenziali), geometria analitica. Conoscere due qualunque fra a, b, c, α, β (esclusi i soli due angoli) permette di determinare tutti gli altri elementi con semplici formule.

Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora (VI secolo a.C.) lega i tre lati: c² = a² + b², equivalente a c = √(a² + b²). Da qui si ricavano anche i cateti: a = √(c² − b²), b = √(c² − a²). Famose terne pitagoriche (cateti e ipotenusa interi): (3, 4, 5); (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Tutte le terne primitive si generano da due interi m > n > 0 coprimi e di parità diversa: a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n².

Trigonometria nel triangolo rettangolo

Dato l'angolo acuto α opposto al cateto a: sin α = a/c (cateto opposto / ipotenusa); cos α = b/c (cateto adiacente / ipotenusa); tan α = a/b = sin α / cos α (opposto / adiacente). Reciproche: csc α = c/a, sec α = c/b, cot α = b/a. Da queste si ricavano gli angoli conoscendo i lati: α = arctan(a/b) = arcsin(a/c) = arccos(b/c). Esempio: a = 3, b = 4 → c = 5, α = arctan(3/4) ≈ 36,87°, β = 90° − 36,87° ≈ 53,13°.

Area e perimetro

L'area di un triangolo rettangolo è A = ½ · a · b (metà del prodotto dei cateti, che sono anche base e altezza l'uno dell'altro). Alternativamente A = ½ · c² · sin α · cos α = (c²·sin(2α))/4. Il perimetro è P = a + b + c. Il semiperimetro s = P/2 è usato in formule avanzate (inradio r = A/s, cerchio inscritto). Esempio 3-4-5: A = 6, P = 12.

Altezza relativa all'ipotenusa

L'altezza relativa all'ipotenusa h (distanza dall'angolo retto all'ipotenusa) si ricava da: area = ½·c·h → h = a·b/c. Questa altezza divide l'ipotenusa in due segmenti p, q con p + q = c e h² = p·q (primo teorema di Euclide: a² = p·c; b² = q·c; secondo teorema di Euclide: h² = p·q). Esempio 3-4-5: h = 12/5 = 2,4; p = 9/5 = 1,8 (proiezione di a su c); q = 16/5 = 3,2.

Cerchi inscritto e circoscritto

Il cerchio circoscritto a un triangolo rettangolo ha diametro pari all'ipotenusa (tutti i triangoli inscritti in un semicerchio sono rettangoli — teorema di Talete): R = c/2. Il centro del cerchio circoscritto coincide con il punto medio dell'ipotenusa. Il cerchio inscritto ha raggio r = A/s = (a + b − c)/2 (solo per triangoli rettangoli). Per il 3-4-5: R = 2,5; r = 1.

Mediane e baricentro

Il baricentro G si trova a distanza 1/3 dalla base di ogni mediana. Le tre mediane sono: m_a = ½·√(2b² + 2c² − a²); m_b = ½·√(2a² + 2c² − b²); m_c = c/2 (la mediana all'ipotenusa è metà dell'ipotenusa, sempre). L'ortocentro coincide con il vertice dell'angolo retto. Il circocentro è il punto medio dell'ipotenusa.

Angoli notevoli

Triangoli rettangoli con angoli notevoli hanno lati in rapporti esatti: 30-60-90: lati in rapporto 1 : √3 : 2 (cateto minore : cateto maggiore : ipotenusa). 45-45-90 (isoscele rettangolo): 1 : 1 : √2. Esempi: 30-60-90 con cateto minore 1 → cateto maggiore √3 ≈ 1,732, ipotenusa 2. 45-45-90 con cateto 1 → ipotenusa √2 ≈ 1,414. Questi rapporti sono memorizzabili e utili in problemi di geometria esatta.

Come usare il calcolatore

Quattro modalità: due cateti (a, b → c, angoli, area, h); cateto e ipotenusa (a o b, c → altro cateto); cateto e angolo (a, α → b, c); ipotenusa e angolo (c, α → a, b). Il calcolatore restituisce: lati mancanti, entrambi gli angoli, area, perimetro, altezza relativa all'ipotenusa, raggi dei cerchi inscritto e circoscritto. Angoli in gradi. Verifica automaticamente la consistenza (es. cateto < ipotenusa; angolo < 90°).

Il teorema di Pitagora e le terne pitagoriche

Il triangolo rettangolo è governato dal teorema di Pitagora: c² = a² + b², dove c è l'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) e a, b sono i cateti. Sebbene attribuito a Pitagora (VI secolo a.C.), il risultato era noto ai Babilonesi oltre mille anni prima: la tavoletta Plimpton 322 (circa 1800 a.C.) elenca decine di terne pitagoriche, cioè triple di interi che soddisfano la relazione. Le più celebri sono 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 e 7-24-25. La terna 3-4-5 è tuttora usata in edilizia per tracciare angoli retti senza squadra: bastano tre corde di 3, 4 e 5 unità. Euclide ne diede una dimostrazione rigorosa negli Elementi, e la sua generalizzazione a esponenti maggiori di 2 è l'ultimo teorema di Fermat, dimostrato solo nel 1994 da Andrew Wiles.

Cerchio circoscritto, inscritto e relazioni notevoli

Il triangolo rettangolo ha proprietà geometriche eleganti. Per il teorema di Talete, ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto: ne consegue che l'ipotenusa coincide con il diametro del cerchio circoscritto, e quindi il raggio circoscritto è R = c/2. Il raggio inscritto vale r = (a + b − c)/2, formula semplice ma valida solo per i triangoli rettangoli. L'altezza relativa all'ipotenusa, h = a·b/c, è la media geometrica delle due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (secondo teorema di Euclide). Gli angoli acuti sono complementari (α + β = 90°) e si ricavano dai rapporti trigonometrici: sin α = a/c, cos α = b/c, tan α = a/b. Queste relazioni sono fondamentali in topografia, edilizia e nella progettazione strutturale studiata al Politecnico.

Aggiornato a luglio 2026