Relativistische Energie-Impuls Rechner (E=mc^2)

Relativistische Energie-Impuls Rechner: E = gamma m c^2, p = gamma m v, Invariante E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4, Photonen E = pc und nuklearer Massendefekt.

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Relativistische Energie und Impuls

Einsteins Beziehungen 1905. Für Ruhemasse m mit Geschwindigkeit v:

E = gamma m c^2 (Gesamtenergie)

p = gamma m v (relativistischer Impuls)

T = (gamma - 1) m c^2 (kinetische Energie)

Mit gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2).

Ruheenergie E_0 = m c^2

Berühmteste Physikgleichung. 1 kg Masse = 9 * 10^16 J = 20 Mt TNT. Grundlage von Kernfission und -fusion.

Relativistische Invariante

E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4. Lorentz-invariant. Viererimpuls P = (E/c, p), |P|^2 = m^2 c^2.

Masselose Photonen

E = p c für m = 0. E = h nu. Sichtbar 1.8-3.1 eV, UV 3-100 eV, Röntgen 100 eV - 100 keV, Gamma > 100 keV.

Fünf Modi

  1. Energie und Impuls.
  2. Invariante.
  3. Photonen.
  4. Nukleare Bindungsenergie.
  5. Nur kinetische Energie.

Nukleare Bindungsenergie

B = Delta m c^2. MeV/Nukleon: H-2 1.11, He-4 7.07, Fe-56 8.79 (Max), U-235 7.59. Fission schwerer und Fusion leichter Kerne setzt Energie frei.

Klassischer Grenzwert

T ~ (1/2) m v^2 für v < 0.1c.

Historischer Kontext

Einstein 1905 'Does the Inertia Depend Upon Energy?'. Annalen der Physik. Erste strenge Formulierung der Masse-Energie-Äquivalenz. Experimentell bestätigt von Kernspaltung (Hahn-Strassmann 1938) bis zu modernen LHC-Beschleunigern.

Experimentelle Verifikationen

  • Kernspaltung: Hahn-Strassmann 1938, Meitner-Frisch 1939 Interpretation.
  • Beschleuniger: LHC-Protonen gamma ~7000 verifiziert E und p.
  • Kosmische Myonen: Rossi-Hall 1941, gamma ~10 erlaubt Ankunft am Boden.
  • Hafele-Keating 1971: Atomuhren in Flugzeugen, Nanosekunden gemessen.
  • PET-Medizin: e+ e- -> 2 Photonen 511 keV bestätigt E = m_e c^2.

Anwendungen

  • Teilchenphysik: LHC gamma ~7000, Hochenergie-Kollisionen.
  • Kernphysik: Fission U-235 (200 MeV), Fusion D-T (17.6 MeV), Reaktoren.
  • Astrophysik: Supernovae, Schwarze Löcher, ultraenergetische kosmische Strahlen.
  • Medizin: PET-Scan basiert auf e+e- Annihilation -> 2 Photonen 511 keV.
  • Kosmologie: dunkle Materie-Energie, Universumsausdehnung, CMB 2.7 K.
  • Technologie: Kernreaktoren, Beschleuniger, gepulste Laser.

Der Viererimpuls und die Erhaltung in Kollisionen

Energie und Impuls sind in der Relativitat keine getrennten Grossen: sie vereinigen sich zu einem einzigen vierdimensionalen Objekt, dem Viererimpuls P = (E/c, p_x, p_y, p_z), der sich von einem Bezugssystem zum anderen wie die Raumzeit-Koordinaten transformiert. Sein Betrag, E^2/c^2 - |p|^2 = m^2 c^2, ist eine Lorentz-Invariante: alle Inertialbeobachter stimmen in der Ruhemasse m uberein, auch wenn sie unterschiedliche Energien und Impulse messen.

Bei Teilchenkollisionen bleibt der gesamte Viererimpuls Komponente fur Komponente erhalten: die Summe der Energien und die Summe der Impulse vor dem Stoss gleichen denen danach. Daraus entsteht der Begriff der invarianten Masse eines Systems, die die Summe der Massen der Bestandteile ubersteigen kann, weil sie kinetische und Bindungsenergie einschliesst. Genau diese Erhaltung erlaubt die Berechnung der Schwellenenergien fur die Erzeugung neuer Teilchen in Hochenergiekollisionen.

Relativistische Energien in Beschleunigern

In Teilchenbeschleunigern sind relativistische Effekte keine Korrekturen, sondern das dominierende Regime. Die Protonen des Grossen Hadronen-Speicherrings erreichen einen Gamma-Faktor in der Grossenordnung von 7500 und bewegen sich mit uber 99,9999% der Lichtgeschwindigkeit: ihre Gesamtenergie ist fast vollstandig kinetisch, tausendfach die Ruhemasseenergie. Deshalb werden Energien in Elektronenvolt (eV) und Vielfachen (MeV, GeV, TeV) gemessen, den naturlichen Einheiten der subatomaren Welt.

Die Wahl zwischen Kollidern (zwei frontal aufeinandertreffenden Strahlen) und festen Zielen hangt von der nutzbaren Schwerpunktsenergie ab, der einzigen wirklich fur die Erzeugung neuer Teilchen verfugbaren. In Kollidern ist fast die gesamte Energie nutzbar, wahrend bei einem festen Ziel ein grosser Teil in der Gesamtbewegung der Produkte verloren geht. Die beruhmte Gleichung E = mc^2 wird hier operativ: kinetische Energie in Masse umzuwandeln ist der Mechanismus, mit dem schwere Teilchen wie das Higgs-Boson erzeugt werden.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Was ist die relativistische Gesamtenergie?

Es ist die Energie E = gamma m c^2 eines Teilchens der Masse m, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, wobei gamma der Lorentz-Faktor ist. Sie umfasst die Ruhemasseenergie m c^2 plus die kinetische Energie. Bei niedrigen Geschwindigkeiten reduziert sie sich auf m c^2 + (1/2) m v^2 und stellt die klassische Mechanik wieder her.

Was besagt die Relation E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2?

Es ist die fundamentale Energie-Impuls-Relation der Relativitat: sie verknupft die Gesamtenergie E, den Impuls p und die Ruhemasse m. Sie gilt in jedem Inertialsystem und fur jedes Teilchen, mit oder ohne Masse. Fur Photonen (m=0) reduziert sie sich auf E = pc.

Was ist die relativistische Invariante?

Es ist die Grosse E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2, die fur alle Inertialbeobachter denselben Wert hat. Sie entspricht dem Betrag des Viererimpulses und definiert die Ruhemasse, eine intrinsische Eigenschaft des Teilchens unabhangig vom Bewegungszustand.

Wie verhalt sich ein Photon?

Das Photon hat verschwindende Ruhemasse und bewegt sich stets mit c. Seine Energie hangt allein uber E = pc mit dem Impuls und uber E = h nu = h c/lambda mit der Frequenz zusammen. Es hat kein Ruhesystem, und seine gesamte Energie ist gewissermassen kinetisch.

Was ist die nukleare Bindungsenergie?

Es ist die Energie E = Delta m c^2 entsprechend dem Massendefekt Delta m = Z m_H + N m_n - M, der Differenz zwischen der Masse der freien Nukleonen und der tatsachlichen Masse des Kerns. Sie misst, wie fest der Kern gebunden ist: maximal fur Eisen-56, etwa 8,79 MeV pro Nukleon.

Was ist der Viererimpuls?

Es ist der vierdimensionale Vektor P = (E/c, p), der Energie und Impuls vereint. Er transformiert sich wie die Raumzeit-Koordinaten zwischen Inertialsystemen, und sein Betrag E^2/c^2 - |p|^2 = m^2 c^2 ist invariant. Seine Erhaltung bestimmt alle relativistischen Kollisionen.

Warum werden Energien in eV gemessen?

Weil das Elektronenvolt (die Energie, die ein Elektron durch eine Potentialdifferenz von 1 Volt gewinnt) die naturliche Einheit auf der subatomaren Skala ist. Typische Energien reichen von den eV des sichtbaren Lichts bis zu den TeV von Beschleunigern wie dem LHC, wo Protonen Gamma-Faktoren von Tausenden erreichen.

Wie werden in Stossen neue Teilchen erzeugt?

Durch Umwandlung kinetischer Energie in Masse gemass E = mc^2. Wenn zwei Teilchen mit ausreichender Schwerpunktsenergie kollidieren, kann sich ein Teil dieser Energie in neue, schwerere Teilchen materialisieren. So erzeugen Beschleuniger Teilchen wie das Higgs-Boson.

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