Energia e momento relativistici

Le relazioni tra energia e momento di un oggetto in moto sono tra i risultati più' famosi della relativita' ristretta di Einstein (1905). Per una particella con massa a riposo m in moto con velocità' v, l'energia totale, il momento e l'energia cinetica relativistica sono:

E = gamma * m * c^2 (energia totale)

p = gamma * m * v (momento relativistico)

T = (gamma - 1) * m * c^2 (energia cinetica)

dove gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2) e' il fattore di Lorentz e c = 299 792 458 m/s e' la velocità' della luce.

L energia di massa E_0 = m c^2

Forse la più' famosa equazione della fisica, derivata da Einstein nel suo paper 'Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy Content?' (1905). Ogni oggetto con massa ha energia a riposo:

E_0 = m * c^2

Enormita': 1 kg di massa = 9 * 10^16 J = 25 miliardi di kWh = energia di ~20 Mt (megatoni) di TNT. Questa equivalenza e' alla base di fissione e fusione nucleare, dove piccole variazioni di massa rilasciano enormi energie.

L invariante relativistico

La quantità' più' fondamentale:

E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4

E' invariante sotto trasformazioni di Lorentz: tutti gli osservatori inerziali calcolano lo stesso valore. Quattromomento P = (E/c, p) trasforma come 4-vettore, e |P|^2 = m^2 c^2 e' l'invariante. Questa relazione connette E, p, m in modo elegante: noto ogni due, il terzo e' determinato.

Fotoni e particelle senza massa

Per particelle con m = 0 (fotoni, gluoni):

E = p c (relazione dispersione lineare)

I fotoni sempre viaggiano a c, indipendentemente dal riferimento (postulato di Einstein). L'energia del fotone e' legata alla frequenza tramite E = h nu (Planck) o alla lunghezza d'onda tramite E = h c / lambda (de Broglie). Esempi:

• Luce visibile (400-700 nm): 1.8-3.1 eV
• Raggi UV: 3-100 eV
• Raggi X: 100 eV - 100 keV
• Raggi gamma: > 100 keV (tipicamente 100 keV - 10 MeV, possibili TeV)

Le cinque modalita'

1. Energia e momento: calcolo E, p, T per massa e velocità' date.
2. Invariante: verifica E^2 - p^2 c^2 = (m c^2)^2.
3. Fotoni: particelle m=0, relazione E = pc, frequenza, lunghezza d'onda.
4. Energia di legame: difetto di massa nucleare Delta m * c^2 in MeV.
5. Cinetica: confronto tra T relativistica e classica (1/2) m v^2.

Energia di legame nucleare

L'applicazione più' concreta di E = m c^2 in fisica nucleare. La massa di un nucleo e' sempre inferiore alla somma delle masse dei suoi protoni e neutroni liberi. Il 'difetto di massa' Delta m si converte in energia di legame:

B = Delta m * c^2

Espressa in MeV/nucleone:

• H-2 (deuterio): 1.11 MeV/A (debole, fusionabile)
• He-4: 7.07 MeV/A
• C-12: 7.68 MeV/A
• O-16: 7.98 MeV/A
• Fe-56: 8.79 MeV/A (MASSIMO, nucleo più' stabile)
• U-235: 7.59 MeV/A (fissionabile)

La curva di energia di legame ha picco a Fe-56: fusione di elementi leggeri e fissione di elementi pesanti rilasciano energia. Al di sotto di Fe, fusione libera energia; al di sopra, fissione libera energia. Il sole produce energia tramite fusione di H -> He.

Limite classico e relativistico

Per v << c, gamma ~= 1 + v^2/(2 c^2) + ..., quindi:

T = (gamma - 1) m c^2 ~= (1/2) m v^2 + (3/8) m v^4 / c^2 + ...

Il primo termine e' la cinetica classica, il secondo e le correzioni relativistiche. Errore relativo della formula classica e' v^2/(2c^2):

• v = 0.01 c: errore 0.005%
• v = 0.1 c: errore 0.5%
• v = 0.5 c: errore 15%
• v = 0.9 c: errore 125% (classica sottostima drasticamente)
• v = 0.99 c: errore 1300%+

Applicazioni

• Fisica delle particelle: cinematica collisioni LHC con protoni a gamma ~ 7000.
• Fisica nucleare: energia di fissione (U-235 fissione da' ~200 MeV per nucleo), fusione (D-T fusione da' 17.6 MeV).
• Astrofisica: energetica di supernove, buchi neri, raggi cosmici ultra-energetici (> 10^20 eV).
• Medicina: PET scanner usa annichilazione e+ e- -> 2 fotoni 511 keV, derivata da m_e c^2.
• Cosmologia: materia-energia oscura, espansione universo, radiazione fondo 2.7 K.
• Tecnologia: reattori nucleari, acceleratori, laser a impulsi ultracorti.

Il quadrimomento e la conservazione nelle collisioni

Energia e quantita di moto non sono grandezze separate in relativita: si uniscono in un unico oggetto quadridimensionale, il quadrimomento P = (E/c, p_x, p_y, p_z), che si trasforma da un riferimento all'altro come le coordinate spaziotemporali. Il suo modulo, E^2/c^2 - |p|^2 = m^2 c^2, e invariante di Lorentz: tutti gli osservatori inerziali concordano sulla massa a riposo m, anche se misurano energie e momenti diversi.

Nelle collisioni fra particelle il quadrimomento totale si conserva componente per componente: la somma delle energie e la somma dei momenti prima dell'urto eguagliano quelle dopo. Da qui nasce il concetto di massa invariante di un sistema, che puo essere maggiore della somma delle masse dei costituenti perche include l'energia cinetica e di legame. E precisamente questa conservazione che permette di calcolare le energie di soglia per la creazione di nuove particelle negli urti ad alta energia.

Energie relativistiche negli acceleratori

Negli acceleratori di particelle gli effetti relativistici non sono correzioni ma il regime dominante. I protoni del Large Hadron Collider raggiungono un fattore gamma dell'ordine di 7500, viaggiando a oltre il 99,9999% della velocita della luce: la loro energia totale e quasi interamente cinetica, migliaia di volte l'energia di massa a riposo. Per questo le energie si misurano in elettronvolt (eV) e multipli (MeV, GeV, TeV), unita naturali per il mondo subatomico.

La scelta fra collisori (due fasci che si scontrano frontalmente) e bersagli fissi dipende dall'energia utile nel centro di massa, l'unica realmente disponibile per creare nuove particelle. Nei collisori quasi tutta l'energia e sfruttabile, mentre con un bersaglio fisso gran parte va sprecata nel moto d'insieme dei prodotti. La celebre equazione E = mc^2 diventa qui operativa: convertire energia cinetica in massa e il meccanismo con cui si producono particelle pesanti come il bosone di Higgs.

Aggiornato a luglio 2026