Calculateur Énergie Moment Relativiste (E=mc^2)

Calculateur énergie et moment relativistes : E = gamma m c^2, p = gamma m v, invariant E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4, photons E = pc et defaut masse nucleaire.

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Énergie et moment relativistes

Relations d Einstein 1905. Pour masse au repos m avec vitesse v :

E = gamma m c^2 (énergie totale)

p = gamma m v (moment relativiste)

T = (gamma - 1) m c^2 (énergie cinétique)

Avec gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2).

Énergie de masse E_0 = m c^2

Équation la plus celebre de la physique. 1 kg de masse = 9 * 10^16 J = 20 Mt TNT. Base de fission et fusion nucleaires.

Invariant relativiste

E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4. Invariant sous Lorentz. Quadrivecteur impulsion P = (E/c, p), |P|^2 = m^2 c^2.

Photons sans masse

E = p c pour m = 0. E = h nu. Visible 1.8-3.1 eV, UV 3-100 eV, rayons X 100 eV - 100 keV, gamma > 100 keV.

Cinq modes

  1. Énergie et moment.
  2. Invariant.
  3. Photons.
  4. Énergie de liaison nucleaire.
  5. Seule énergie cinétique.

Énergie de liaison nucleaire

B = Delta m c^2. MeV/nucleon : H-2 1.11, He-4 7.07, Fe-56 8.79 (max), U-235 7.59. Fission lourdes et fusion legeres liberent énergie.

Limite classique

T ~ (1/2) m v^2 pour v < 0.1c.

Contexte historique

Einstein 1905 'Does the Inertia Depend Upon Energy?'. Annalen der Physik. Première formulation rigoureuse de equivalence masse-énergie. Verifie experimentalement de la fission (Hahn-Strassmann 1938) aux accelerateurs modernes LHC.

Verifications experimentales

  • Fission nucleaire : Hahn-Strassmann 1938, Meitner-Frisch 1939 interprétation.
  • Accelerateurs : LHC protons gamma ~7000 verifie E et p.
  • Muons cosmiques : Rossi-Hall 1941, gamma ~10 permet arrivee au sol.
  • Hafele-Keating 1971 : horloges atomiques avions, nanosecondes mesurees.
  • TEP medicine : e+ e- -> 2 photons 511 keV confirme E = m_e c^2.

Applications

  • Physique particules : LHC gamma ~7000, collisions haute énergie.
  • Physique nucleaire : fission U-235 (200 MeV), fusion D-T (17.6 MeV), reacteurs.
  • Astrophysique : supernovae, trous noirs, rayons cosmiques ultra-energetiques.
  • Medecine : TEP basee sur annihilation e+e- -> 2 photons 511 keV.
  • Cosmologie : matière-énergie noire, expansion univers, CMB 2.7 K.
  • Technologie : reacteurs nucleaires, accelerateurs, lasers pulses.

Le quadrivecteur energie-impulsion et la conservation dans les collisions

Energie et quantite de mouvement ne sont pas des grandeurs separees en relativite : elles se reunissent en un unique objet quadridimensionnel, le quadrivecteur energie-impulsion P = (E/c, p_x, p_y, p_z), qui se transforme d'un referentiel a l'autre comme les coordonnees espace-temps. Son module, E^2/c^2 - |p|^2 = m^2 c^2, est un invariant de Lorentz : tous les observateurs inertiels s'accordent sur la masse au repos m, meme s'ils mesurent des energies et des impulsions differentes.

Dans les collisions de particules le quadrivecteur total se conserve composante par composante : la somme des energies et la somme des impulsions avant le choc egalent celles d'apres. De la nait le concept de masse invariante d'un systeme, qui peut depasser la somme des masses des constituants car elle inclut l'energie cinetique et de liaison. C'est precisement cette conservation qui permet de calculer les energies de seuil pour creer de nouvelles particules dans les collisions a haute energie.

Energies relativistes dans les accelerateurs

Dans les accelerateurs de particules les effets relativistes ne sont pas des corrections mais le regime dominant. Les protons du Grand collisionneur de hadrons atteignent un facteur gamma de l'ordre de 7500, voyageant a plus de 99,9999% de la vitesse de la lumiere : leur energie totale est presque entierement cinetique, des milliers de fois l'energie de masse au repos. C'est pourquoi les energies se mesurent en electronvolts (eV) et multiples (MeV, GeV, TeV), unites naturelles du monde subatomique.

Le choix entre collisionneurs (deux faisceaux se heurtant de front) et cibles fixes depend de l'energie utile dans le centre de masse, la seule reellement disponible pour creer de nouvelles particules. Dans les collisionneurs presque toute l'energie est exploitable, tandis qu'avec une cible fixe une grande partie est gaspillee dans le mouvement d'ensemble des produits. La celebre equation E = mc^2 devient ici operationnelle : convertir l'energie cinetique en masse est le mecanisme par lequel on produit des particules lourdes comme le boson de Higgs.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Qu'est-ce que l'energie relativiste totale ?

C'est l'energie E = gamma m c^2 d'une particule de masse m se deplacant a la vitesse v, ou gamma est le facteur de Lorentz. Elle comprend l'energie de masse au repos m c^2 plus l'energie cinetique. Aux basses vitesses elle se reduit a m c^2 + (1/2) m v^2, retrouvant la mecanique classique.

Que dit la relation E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 ?

C'est la relation fondamentale energie-impulsion de la relativite : elle lie l'energie totale E, la quantite de mouvement p et la masse au repos m. Elle vaut dans tout referentiel inertiel et pour toute particule, avec ou sans masse. Pour les photons (m=0) elle se reduit a E = pc.

Qu'est-ce que l'invariant relativiste ?

C'est la quantite E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2, qui a la meme valeur pour tous les observateurs inertiels. Elle correspond au module du quadrivecteur energie-impulsion et definit la masse au repos, une propriete intrinseque de la particule independante de l'etat de mouvement.

Comment se comporte un photon ?

Le photon a une masse au repos nulle et voyage toujours a c. Son energie est liee au seul moment par E = pc, et a la frequence par E = h nu = h c/lambda. Il n'a pas de referentiel de repos et toute son energie est, en un sens, cinetique.

Qu'est-ce que l'energie de liaison nucleaire ?

C'est l'energie E = Delta m c^2 correspondant au defaut de masse Delta m = Z m_H + N m_n - M, la difference entre la masse des nucleons libres et la masse reelle du noyau. Elle mesure la solidite de la liaison du noyau : maximale pour le fer-56, environ 8,79 MeV par nucleon.

Qu'est-ce que le quadrivecteur energie-impulsion ?

C'est le vecteur quadridimensionnel P = (E/c, p) qui unit energie et quantite de mouvement. Il se transforme comme les coordonnees espace-temps entre referentiels inertiels, et son module E^2/c^2 - |p|^2 = m^2 c^2 est invariant. Sa conservation regit toutes les collisions relativistes.

Pourquoi les energies se mesurent-elles en eV ?

Parce que l'electronvolt (energie acquise par un electron a travers une difference de potentiel de 1 volt) est l'unite naturelle a l'echelle subatomique. Les energies typiques vont des eV de la lumiere visible aux TeV des accelerateurs comme le LHC, ou les protons atteignent des facteurs gamma de milliers.

Comment cree-t-on de nouvelles particules dans les chocs ?

En convertissant l'energie cinetique en masse selon E = mc^2. Quand deux particules entrent en collision avec une energie suffisante dans le centre de masse, une partie de cette energie peut se materialiser en nouvelles particules plus lourdes. C'est ainsi que les accelerateurs produisent des particules comme le boson de Higgs.

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