Quadratische Formel Rechner: Wurzeln, Diskriminante, Scheitel

Löse ax²+bx+c=0 mit der quadratischen Formel, Diskriminante Δ=b²-4ac, Scheitel, Scheitelform, Faktorisierung und reelle oder komplexe Wurzeln. Vier Modi.

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Quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0

Eine quadratische Gleichung in Standardform lautet ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Die Koeffizienten a, b, c sind meist reell (können komplex sein). Die Lösungen — Wurzeln oder Nullstellen — sind die x-Werte, die das Polynom p(x) = ax² + bx + c verschwinden lassen. Geometrisch sind es die Nullstellen der Parabel y = ax²+bx+c, also die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Die quadratische Formel

Die quadratische Formel (Mitternachtsformel) liefert die Wurzeln explizit: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Sie entsteht durch quadratische Ergänzung: durch a dividieren, (b/2a)² addieren und subtrahieren, nach x auflösen. Der Ausdruck b² - 4ac heißt Diskriminante und wird mit Δ bezeichnet. Sein Vorzeichen entscheidet über Zahl und Art der Lösungen.

Die Diskriminante Δ

  • Δ > 0: zwei verschiedene reelle Wurzeln. Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei Punkten.
  • Δ = 0: eine doppelte reelle Wurzel x = -b/(2a). Die Parabel berührt die x-Achse.
  • Δ < 0: zwei komplex konjugierte Wurzeln x = (-b ± i√|Δ|)/(2a). Die Parabel schneidet die x-Achse nicht.

Scheitelpunkt und Scheitelform

Durch quadratische Ergänzung erhält man die Scheitelform y = a(x - h)² + k mit Scheitel (h, k) = (-b/(2a), -Δ/(4a)). Minimum für a > 0, Maximum für a < 0. Die Symmetrieachse ist die Gerade x = h.

Satz von Vieta

Sind x₁, x₂ die Wurzeln, so gilt nach dem Satz von Vieta: x₁+x₂ = -b/a und x₁·x₂ = c/a. Damit lassen sich Lösungen prüfen und aus Wurzeln wieder eine Gleichung rekonstruieren.

Faktorisierung

Bei reellen Wurzeln x₁, x₂ ist ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂). Nützlich zum Kürzen rationaler Ausdrücke und zum Integrieren rationaler Funktionen. Über ℤ, falls Δ eine Quadratzahl und die Koeffizienten ganzzahlig sind.

Sonderfälle

Wenn c = 0: x(ax + b) = 0, Wurzeln 0 und -b/a. Wenn b = 0: ax² + c = 0, x² = -c/a. Wenn a = 0: lineare Gleichung bx + c = 0 mit Lösung x = -c/b — nicht mehr quadratisch.

Beispiele

x² − 5x + 6 = 0: Δ = 1, Wurzeln 3 und 2, Scheitel (5/2, −1/4). 2x² + 4x + 5 = 0: Δ = −24, komplexe Wurzeln −1 ± i√6/2.

Bedienung

Modus Lösen: a, b, c eingeben → Wurzeln, Diskriminante, Scheitel. Modus aus Wurzeln: r₁, r₂ → normierte Gleichung. Modus Scheitelform: a(x-h)²+k. Modus Faktorisieren: Produkt zweier Linearfaktoren.

Von der quadratischen Ergänzung zur Formel

Die Lösungsformel ist keine Magie: Sie leitet sich aus der quadratischen Ergänzung der allgemeinen Gleichung ax²+bx+c=0 her. Teilt man durch a, verschiebt das konstante Glied und addiert (b/2a)² zu beiden Seiten, entsteht ein vollständiges Quadrat, aus dem die Wurzel direkt zu x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a) führt. Das zeigt, warum die Diskriminante und der Faktor 2a im Nenner auftreten. Die Scheitelform a(x−h)²+k, mit Scheitel (h,k), ist das geometrische Ergebnis derselben quadratischen Ergänzung.

Anwendungen quadratischer Gleichungen

Die von diesen Gleichungen beschriebenen Parabeln sind überall: in der Bewegung von Geschossen unter Schwerkraft, in der Form von Hängebrücken und Parabolantennen, in der Optimierung von Flächen und Erlösen, in Technik und Physik. Die Wurzeln zu finden bedeutet zu finden, wo die Parabel die x-Achse trifft, also wo eine Größe null wird: die Aufprallzeit eines Geschosses oder der Break-even-Punkt eines Betriebs.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Lösungsformel der quadratischen Gleichung?

Für ax² + bx + c = 0 sind die Lösungen x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a). Der Term unter der Wurzel, b²−4ac, ist die Diskriminante und bestimmt ihre Natur. Für x²−5x+6=0 ergibt sich x = (5 ± √1)/2, also 3 und 2. Der Rechner wendet diese Formel an und zeigt alle Schritte.

Was ist die Diskriminante und was zeigt sie an?

Sie ist Δ = b²−4ac und legt fest, wie viele und welche Wurzeln die Gleichung hat: Bei Δ > 0 gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln, bei Δ = 0 eine doppelte reelle Wurzel, bei Δ < 0 zwei komplex konjugierte Wurzeln. Es ist der erste Wert, den man betrachtet, um das Verhalten der Parabel zur x-Achse zu verstehen.

Was sind die Formeln von Vieta?

Sie verbinden Wurzeln und Koeffizienten: Die Summe der Wurzeln ist −b/a und ihr Produkt c/a. Sie erlauben, die Lösungen zu prüfen oder die Gleichung aus den Wurzeln zu rekonstruieren. Für x²−5x+6=0 ist die Summe 5 (=3+2) und das Produkt 6 (=3·2). Der Rechner liefert sie stets als Kontrolle.

Was ist der Scheitelpunkt der Parabel?

Es ist der Höchst- oder Tiefstpunkt der Parabel y = ax²+bx+c, mit den Koordinaten (−b/2a, c−b²/4a). Bei a > 0 öffnet sich die Parabel nach oben und der Scheitel ist das Minimum, bei a < 0 das Maximum. Der Rechner liefert die Scheitelkoordinaten und die Scheitelform (Normalform) der Gleichung.

Wie löst man eine Gleichung mit komplexen Wurzeln?

Ist die Diskriminante negativ, führt die Quadratwurzel einer negativen Zahl die imaginäre Einheit i ein (mit i² = −1). Die beiden Lösungen sind komplex konjugiert: −b/2a ± (√(−Δ)/2a)i. Für x²+x+1=0 ergibt sich −0,5 ± 0,866i. Der Rechner zeigt sie in algebraischer Form.

Wie rekonstruiert man die Gleichung aus ihren Wurzeln?

Sind die Wurzeln r₁ und r₂, lautet die normierte Gleichung x² − (r₁+r₂)x + r₁·r₂ = 0, indem man die Formeln von Vieta rückwärts anwendet. Für die Wurzeln 3 und 2 ergibt sich x²−5x+6=0. Der Rechner hat einen eigenen Modus, der die Gleichung aufstellt und Scheitel, Diskriminante und Formen liefert.

Wer entdeckte die quadratische Formel?

Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen waren den Babyloniern vor 4.000 Jahren in geometrischer Form bekannt. Die moderne algebraische Formel entstand schrittweise durch indische Mathematiker wie Brahmagupta (7. Jahrhundert) und arabische wie al-Chwarizmi (9. Jahrhundert), dessen Name den Ursprung des Wortes Algorithmus bildet.

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