Calculadora Fórmula Cuadrática: raíces, discriminante, vértice

Resuelve ax²+bx+c=0 con fórmula cuadrática, discriminante Δ=b²-4ac, vértice, forma canónica, factorización y raíces reales o complejas. Cuatro modos útiles.

Parámetros de cálculo
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Ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0

Una ecuación cuadrática en forma estándar es ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Los coeficientes a, b, c suelen ser reales (pueden ser complejos). Sus soluciones, llamadas raíces, son los valores de x que anulan el polinomio p(x) = ax² + bx + c. Geométricamente corresponden a los puntos donde la parábola y = ax²+bx+c corta al eje x.

La fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática da las raíces explícitamente: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Se deduce completando el cuadrado: se divide por a, se suma y resta (b/2a)², se despeja x. La cantidad b² - 4ac es el discriminante, denotado Δ. Su signo determina el número y naturaleza de las soluciones.

El discriminante Δ

  • Δ > 0: dos raíces reales distintas x₁ ≠ x₂. La parábola corta al eje x en dos puntos.
  • Δ = 0: una raíz real doble x₁ = x₂ = -b/(2a). La parábola es tangente al eje x.
  • Δ < 0: dos raíces complejas conjugadas x = (-b ± i·√|Δ|) / (2a). La parábola no toca el eje x.

Vértice y forma canónica

Completando el cuadrado se obtiene la forma canónica y = a(x - h)² + k, donde (h, k) es el vértice. Se tiene h = -b/(2a), k = c - b²/(4a) = -Δ/(4a). Es mínimo si a > 0, máximo si a < 0. El eje de simetría es la recta x = h.

Fórmulas de Viète

Si x₁, x₂ son las raíces de ax²+bx+c=0, valen las fórmulas de Viète: x₁+x₂ = -b/a y x₁·x₂ = c/a. Verifican las soluciones y permiten reconstruir la ecuación: dadas las raíces r₁, r₂, la ecuación mónica es x² - (r₁+r₂)x + r₁r₂ = 0.

Factorización

Si la ecuación tiene raíces reales x₁, x₂, entonces ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂). Útil para simplificar expresiones racionales e integrar. Si Δ es cuadrado perfecto y los coeficientes son enteros, la factorización es sobre ℤ.

Casos especiales

Si c = 0: ax² + bx = x(ax + b) = 0 con raíces x = 0, x = -b/a. Si b = 0: ax² + c = 0, x² = -c/a (real si a y c tienen signos opuestos). Si a = 0 la ecuación es lineal y la fórmula no se aplica.

Ejemplos

x² − 5x + 6 = 0: Δ = 1, x₁ = 3, x₂ = 2. Factorizada: (x−2)(x−3). Vértice: (5/2, −1/4). 2x² + 4x + 5 = 0: Δ = −24, raíces complejas x = −1 ± i√6/2.

Cómo usar

Modo resolver: introduce a, b, c para obtener raíces, discriminante, vértice, suma y producto. Modo de raíces: introduce r₁, r₂ para la ecuación mónica. Modo canónica: convierte a a(x-h)²+k. Modo factorizar: producto de binomios lineales.

Del completar el cuadrado a la fórmula

La fórmula resolvente no es mágica: se deduce del método de completar el cuadrado aplicado a la ecuación general ax²+bx+c=0. Dividiendo entre a, moviendo el término independiente y sumando (b/2a)² a ambos miembros se obtiene un cuadrado perfecto, del que la raíz cuadrada lleva directamente a x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a). Esto muestra por qué aparecen el discriminante y el factor 2a en el denominador. La forma canónica a(x−h)²+k, con vértice (h,k), es el resultado geométrico del mismo completar el cuadrado.

Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado

Las parábolas descritas por estas ecuaciones están en todas partes: en el movimiento de proyectiles bajo gravedad, en la forma de los puentes colgantes y las antenas parabólicas, en la optimización de áreas e ingresos, en la ingeniería y la física. Hallar las raíces significa hallar dónde la parábola corta el eje x, es decir dónde se anula una magnitud: el tiempo de impacto de un proyectil o el punto de equilibrio de un negocio.

Actualizado a julio de 2026

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado?

Para ax² + bx + c = 0 las soluciones son x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a). El término bajo la raíz, b²−4ac, es el discriminante y determina su naturaleza. Para x²−5x+6=0 se obtiene x = (5 ± √1)/2, es decir 3 y 2. La calculadora aplica esta fórmula y muestra todos los pasos.

¿Qué es el discriminante y qué indica?

Es Δ = b²−4ac y establece cuántas y qué raíces tiene la ecuación: si Δ > 0 hay dos raíces reales distintas, si Δ = 0 una raíz real doble, si Δ < 0 dos raíces complejas conjugadas. Es el primer valor a mirar para entender el comportamiento de la parábola asociada respecto al eje x.

¿Qué son las relaciones de Vieta?

Vinculan raíces y coeficientes: la suma de las raíces es −b/a y su producto es c/a. Permiten verificar las soluciones o reconstruir la ecuación a partir de las raíces. Para x²−5x+6=0 la suma es 5 (=3+2) y el producto 6 (=3·2). La calculadora las ofrece siempre como comprobación.

¿Qué es el vértice de la parábola?

Es el punto máximo o mínimo de la parábola y = ax²+bx+c, de coordenadas (−b/2a, c−b²/4a). Si a > 0 la parábola abre hacia arriba y el vértice es el mínimo, si a < 0 es el máximo. La calculadora ofrece las coordenadas del vértice y la forma canónica de la ecuación.

¿Cómo se resuelve una ecuación con raíces complejas?

Cuando el discriminante es negativo, la raíz cuadrada de un número negativo introduce la unidad imaginaria i (con i² = −1). Las dos soluciones son complejas conjugadas: −b/2a ± (√(−Δ)/2a)i. Para x²+x+1=0 se obtiene −0,5 ± 0,866i. La calculadora las muestra en forma algebraica.

¿Cómo se reconstruye la ecuación a partir de sus raíces?

Si las raíces son r₁ y r₂, la ecuación mónica es x² − (r₁+r₂)x + r₁·r₂ = 0, aplicando las relaciones de Vieta al revés. Para las raíces 3 y 2 se obtiene x²−5x+6=0. La calculadora tiene un modo dedicado que construye la ecuación y ofrece su vértice, discriminante y formas.

¿Quién descubrió la fórmula cuadrática?

Los métodos para resolver ecuaciones de segundo grado eran conocidos por los babilonios hace 4.000 años, en forma geométrica. La fórmula algebraica moderna surgió gradualmente a través de matemáticos indios como Brahmagupta (siglo VII) y árabes como al-Juarismi (siglo IX), cuyo nombre origina la palabra algoritmo.

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