Matrix-Determinante Rechner 2x2, 3x3 und Cramer-Regel

Berechne die Determinante von 2×2- und 3×3-Matrizen, die Spur, und löse lineare Gleichungssysteme mit der Cramer-Regel. Kofaktoren, Sarrus und Laplace.

Berechnungsparameter
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Determinante einer quadratischen Matrix

Die Determinante ist ein Skalar, der einer quadratischen Matrix zugeordnet ist und wichtige geometrische und algebraische Informationen kodiert. Bezeichnet mit det(A), |A| oder Δ. Geometrisch: vorzeichenbehaftete Fläche des Parallelogramms (2D), Volumen des Spats (3D), Volumenskalierungsfaktor der zugehörigen linearen Abbildung. Ist det(A) = 0, ist die Matrix singulär: nicht invertierbar, linear abhängige Zeilen.

2×2-Determinante

Für A = [[a, b], [c, d]]: det(A) = ad − bc. Beispiel: det([[3, 2], [1, 4]]) = 10; det([[2, 4], [1, 2]]) = 0 (proportionale Zeilen).

3×3-Determinante (Regel von Sarrus)

det = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃. Merkregel: die ersten beiden Spalten rechts verdoppeln und sechs Diagonalen betrachten.

Laplace-Entwicklung

det(A) = Σⱼ(−1)^(i+j)·a_{ij}·M_{ij}, wobei M_{ij} der Minor ist. Reduziert das Problem rekursiv auf Ordnung (n−1).

Eigenschaften

  • det(I) = 1.
  • det(AB) = det(A)·det(B) (Satz von Binet).
  • det(Aᵀ) = det(A).
  • det(A⁻¹) = 1/det(A).
  • Zeilenvertauschung: Vorzeichenwechsel.
  • Linear abhängige Zeilen → det = 0.

Cramer-Regel

Für A·x = b mit det(A) ≠ 0: x_i = det(A_i)/det(A), wobei A_i aus A entsteht, indem die i-te Spalte durch b ersetzt wird. Beispiel 2×2: 2x + y = 5, x + 3y = 8 → x = 7/5 = 1,4; y = 11/5 = 2,2.

Effizienz

Cramer ist elegant, aber bei großem n ineffizient: O(n^4) gegenüber O(n³) für das Gauß-Verfahren. Für n ≥ 4 besser Gauß/LU verwenden.

Bedienung

Modi: 2×2-Determinante, 3×3-Determinante, Cramer 2×2, Cramer 3×3. Rechner liefert Determinante, Spur und meldet singuläre Matrizen.

Geometrische Deutung

|det| = Volumenskalierungsfaktor. Drehmatrizen: det = +1; Spiegelungen: det = −1; Projektionen: det = 0. Die Jacobi-Determinante tritt bei Variablensubstitution in Mehrfachintegralen auf.

Determinante, Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Für eine 2×2-Matrix lautet das charakteristische Polynom λ² − tr(A)λ + det(A) = 0: Die Summe der Eigenwerte ist die Spur, ihr Produkt die Determinante. Die beiden vom Rechner ausgegebenen Werte sind damit ein schnelles Diagnosewerkzeug: Eine Determinante von null bedeutet mindestens einen Eigenwert null, eine negative Determinante garantiert zwei reelle Eigenwerte mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Numerische Hinweise

Bei Koeffizienten sehr unterschiedlicher Größenordnung empfiehlt es sich, die Daten zu normieren oder eine partielle Pivotisierung anzuwenden, um Präzisionsverlust zu vermeiden. Die Ergebnisse des Rechners liegen in IEEE-754-Doppelgenauigkeit vor (~15 signifikante Stellen). Eine Determinante nahe null (|det| < 10⁻¹²) gilt als numerisch singulär und wird entsprechend markiert.

Praktische Anwendungen

Determinanten treten überall dort auf, wo lineare Gleichungssysteme vorkommen: in der Netzwerkanalyse der Elektrotechnik, bei Steifigkeitsmatrizen im Bauingenieurwesen, in der Computergrafik (Orientierungstest einer Transformation) und bei Jacobi-Matrizen in Physik und Ökonomie. Die 1750 von Gabriel Cramer veröffentlichte Cramer-Regel ist bis heute die Standard-Lösungsformel für die hier behandelten 2×2- und 3×3-Systeme.

Aktualisiert im Juli 2026

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man die Determinante einer 2×2-Matrix?

Für [[a,b],[c,d]] lautet die Determinante ad − bc: das Produkt der Hauptdiagonale minus das der Nebendiagonale. Für [[3,1],[2,4]] ergibt sich 3·4 − 1·2 = 10. Ist das Ergebnis 0, ist die Matrix singulär und besitzt keine Inverse; das zugehörige System hat keine eindeutige Lösung.

Was ist die Regel von Sarrus und wann darf man sie anwenden?

Die Regel von Sarrus ist ein Merkschema, das nur für 3×3-Matrizen gilt: Man schreibt die ersten beiden Spalten rechts daneben, addiert die Produkte der drei fallenden Diagonalen und subtrahiert die der steigenden. Auf 4×4-Matrizen ist sie nicht übertragbar; dort braucht man Laplace-Entwicklung oder Gauß-Elimination.

Wann versagt die Cramer-Regel?

Die Cramer-Regel setzt voraus, dass die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Bei det = 0 hat das System keine eindeutige Lösung: Es ist entweder unlösbar oder besitzt unendlich viele Lösungen. Der Rechner meldet diesen Fall und markiert die Matrix als singulär, statt durch null zu teilen.

Was bedeutet es, wenn eine Matrix singulär ist?

Eine Matrix ist singulär, wenn ihre Determinante null ist: Die Zeilen (oder Spalten) sind linear abhängig, die Matrix ist nicht invertierbar, und die zugehörige Abbildung drückt den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammen. Der Rechner nutzt die numerische Schwelle |det| < 10⁻¹².

Welche geometrische Bedeutung hat die Determinante?

Der Betrag der Determinante ist der Skalierungsfaktor von Flächen (2×2) bzw. Volumina (3×3) unter der linearen Abbildung: |det| = 2 verdoppelt Volumina. Das Vorzeichen kodiert die Orientierung: positiv erhält sie, negativ kehrt sie um, wie bei Spiegelungen (det = −1).

Was ist die Spur und wie hängt sie mit der Determinante zusammen?

Die Spur ist die Summe der Hauptdiagonalelemente und gleich der Summe der Eigenwerte, während die Determinante deren Produkt ist. Für eine 2×2-Matrix lautet das charakteristische Polynom λ² − tr(A)λ + det(A): Aus Spur und Determinante folgen die Eigenwerte direkt.

Sollte man die Cramer-Regel für große Systeme verwenden?

Nein: Der Aufwand wächst faktoriell, und schon ab 3–4 Unbekannten ist die Gauß-Elimination deutlich effizienter und numerisch stabiler. Die Cramer-Regel bleibt für die Lehre und für geschlossene Formeln bei 2×2- und 3×3-Systemen nützlich – genau die Fälle dieses Rechners.

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