Calculateur Déterminant Matrice 2x2, 3x3 et Règle de Cramer

Calculez le déterminant d'une matrice 2×2 et 3×3, la trace, et résolvez un système avec la règle de Cramer. Règle de Sarrus et développement de Laplace inclus.

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Déterminant d'une matrice carrée

Le déterminant est un scalaire associé à une matrice carrée, codant des informations géométriques et algébriques : aire signée du parallélogramme en 2D, volume signé du parallélépipède en 3D, facteur d'échelle volumique en général. Un déterminant nul signale une matrice singulière (non inversible, lignes liées).

Déterminant 2×2

Pour A = [[a, b], [c, d]] : det(A) = ad − bc. Exemple : det([[3, 2], [1, 4]]) = 10.

Déterminant 3×3 (règle de Sarrus)

det = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃. On duplique les deux premières colonnes pour visualiser les six diagonales.

Développement de Laplace

det(A) = Σⱼ(−1)^(i+j)·a_{ij}·M_{ij}, où M_{ij} est le mineur. Permet la récursion sur l'ordre (n−1).

Propriétés

  • det(I) = 1.
  • det(AB) = det(A)·det(B) (Binet).
  • det(Aᵀ) = det(A).
  • det(A⁻¹) = 1/det(A).
  • Échange de lignes : changement de signe.
  • Lignes liées ⇒ det = 0.

Règle de Cramer

Pour A·x = b et det(A) ≠ 0 : x_i = det(A_i)/det(A), A_i ayant sa i-ème colonne remplacée par b. Exemple 2×2 : 2x + y = 5, x + 3y = 8 → x = 7/5 = 1,4 ; y = 11/5 = 2,2.

Efficacité

Cramer est O(n^4), à comparer avec O(n³) de la méthode de Gauss. Préférer Gauss/LU pour n ≥ 4.

Utilisation

Modes : 2×2, 3×3, Cramer 2×2, Cramer 3×3. Donne déterminant, trace, et détecte les matrices singulières.

Interprétation géométrique

|det| = facteur d'échelle volumique sous la transformation linéaire associée. |det| > 1 dilate aires/volumes, |det| < 1 les contracte, = 1 les préserve (isométrie ou transformation unimodulaire). Rotations det = +1 ; réflexions det = −1 ; projections sur sous-espaces det = 0. Le déterminant jacobien apparaît dans les changements de variables en intégrales multiples : ∫f dV = ∫f(g(u,v,w))·|J| du dv dw.

Lien avec le rang

Le déterminant est un test simple d'inversibilité pour matrices carrées. Si det(A) ≠ 0 alors rang(A) = n (complet) et A est inversible ; si det(A) = 0, rang < n et il existe au moins une combinaison linéaire entre lignes (ou colonnes). Pour connaître le rang exact quand det = 0, on utilise l'élimination gaussienne ou la décomposition SVD.

Conseils numériques

Pour éviter la perte de précision avec des coefficients d'ordres très différents, il est utile de normaliser les données ou d'appliquer un pivot partiel avant le calcul. Les résultats du calculateur sont en double précision IEEE-754 (~15 chiffres significatifs). Un déterminant très proche de zéro (|det| < 10⁻¹²) est considéré numériquement singulier.

Déterminant, valeurs propres et polynôme caractéristique

Pour une matrice 2×2, le polynôme caractéristique s'écrit λ² − tr(A)λ + det(A) = 0 : la somme des valeurs propres est la trace, leur produit est le déterminant. Les deux valeurs affichées par le calculateur servent donc de diagnostic rapide : un déterminant nul implique une valeur propre nulle, un déterminant négatif garantit deux valeurs propres réelles de signes opposés. La règle de Cramer, publiée par Gabriel Cramer en 1750, reste la solution fermée de référence pour les systèmes 2×2 et 3×3.

Mis à jour en juillet 2026

Questions fréquentes

Comment calcule-t-on le déterminant d'une matrice 2×2 ?

Pour [[a,b],[c,d]] le déterminant vaut ad − bc : le produit de la diagonale principale moins celui de la diagonale secondaire. Pour [[3,1],[2,4]] on obtient 3·4 − 1·2 = 10. Un résultat nul signifie que la matrice est singulière et n'a pas d'inverse : le système associé n'a pas de solution unique.

Qu'est-ce que la règle de Sarrus et quand peut-on l'utiliser ?

La règle de Sarrus est un schéma mnémotechnique valable uniquement pour les matrices 3×3 : on recopie les deux premières colonnes à droite, on additionne les produits des trois diagonales descendantes et on soustrait ceux des montantes. Elle ne s'étend pas aux matrices 4×4, où il faut Laplace ou l'élimination de Gauss.

Quand la règle de Cramer échoue-t-elle ?

Cramer exige que le déterminant de la matrice des coefficients soit non nul. Si det = 0, le système n'a pas de solution unique : il est soit impossible, soit indéterminé avec une infinité de solutions. Le calculateur signale ce cas et marque la matrice comme singulière au lieu de diviser par zéro.

Que signifie « matrice singulière » ?

Une matrice est singulière lorsque son déterminant vaut zéro : ses lignes (ou colonnes) sont linéairement dépendantes, elle n'est pas inversible et la transformation associée écrase l'espace sur une dimension inférieure. Le calculateur applique le seuil numérique |det| < 10⁻¹² pour la signaler.

Quelle est la signification géométrique du déterminant ?

La valeur absolue du déterminant mesure le facteur d'échelle des aires (2×2) ou des volumes (3×3) sous la transformation linéaire : |det| = 2 double les volumes. Le signe code l'orientation : positif la conserve, négatif l'inverse, comme pour les réflexions (det = −1).

Qu'est-ce que la trace et quel lien a-t-elle avec le déterminant ?

La trace est la somme des éléments de la diagonale principale et égale la somme des valeurs propres, tandis que le déterminant est leur produit. Pour une 2×2, le polynôme caractéristique s'écrit λ² − tr(A)λ + det(A) : trace et déterminant donnent directement les valeurs propres.

Faut-il utiliser Cramer pour de grands systèmes ?

Non : son coût croît de façon factorielle et, au-delà de 3-4 inconnues, l'élimination de Gauss est bien plus efficace et stable numériquement. Cramer reste utile en pédagogie et pour des formules fermées dans les systèmes 2×2 et 3×3, comme celles de ce calculateur.

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